MODELOS DE DISTRIBUCIÓNES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Enviado por Ariana Rivera Morales • 11 de Octubre de 2022 • Examen • 2.036 Palabras (9 Páginas) • 94 Visitas
MODELOS DE DISTRIBUCIÓNES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Se caracteriza por:
1.- Por ser un experimento aleatorio que consiste en efectuar una sola prueba (un solo ensayo) con dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, arbitrariamente llamados éxito y fracaso.
2.- Por ser un experimento aleatorio que consiste en seleccionar un solo elemento de una población dividida en dos clases (población dicotómica), arbitrariamente llamadas, la clase de los éxitos y la clase de los fracasos.
Ejemplos: de ensayos de Bernoulli
1.- Lanzar una moneda una sola vez para observar el resultado cara o sello.
2.- Seleccionar un artículo de un lote que contiene un porcentaje de artículos defectuosos para verificar si resulta defectuoso o no.
3.- Ejecutar un solo tiro para ver si da en el blanco o no.
Valores de la variable Aleatoria.
Dado que el ensayo tiene dos posibles resultados, el espacio muestral tiene dos elementos :Ω. Entonces la v.a . toma únicamente dos valores: . Si es un éxito ; si es un fracaso : [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]
Modelo de Distribución Probabilística:
La probabilidad de conseguir exactamente éxitos , en un ensayo de Bernoulli , está dada por:[pic 6]
donde el parámetro p es la probabilidad de éxito.[pic 7]
La función de cuantía llamada cuantía de Bernoulli define su correspondiente Función de Distribución de Bernoulli: [pic 8][pic 9]
Si [pic 10]
La esperanza matemática:
[pic 11]
La Varianza: [pic 12][pic 13]
[pic 14]
1.- Supongamos que la probabilidad de conseguir cara al lanzar una moneda cargada es 2/3. Esta moneda se lanza una vez. Determinar La cuantía y la distribución de Bernoulli. [pic 15][pic 16]
Solución
[pic 17]
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[pic 40][pic 41][pic 42]
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2.- La Cuantía de Bernoulli definida por el experimento aleatorio consiste en seleccionar un artículo defectuoso de un lote de 100 que contiene 5 artículos defectuosos. Determinar La cuantía y la distribución de Bernoulli. ; ;[pic 47][pic 48][pic 49]
[pic 50]
Solución
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53] | [pic 54] | [pic 55] |
[pic 56] | [pic 57] | [pic 58] |
[pic 59]
; ;[pic 60][pic 61][pic 62]
1-0.95=0.05[pic 63]
3.-Determinar la Cuantía y distribución de Bernoulli definidas al ejecutar un solo tiro al blanco con una probabilidad de éxito de 0.40 y calcular la [pic 64]
Solución
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67] | [pic 68] | [pic 69] |
[pic 70] | [pic 71] | [pic 72] |
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Muchos experimentos aleatorios satisfacen las siguientes condiciones:
• El experimento consiste de n pruebas, siendo n fijo.
• Las pruebas son idénticas y en cada prueba hay sólo dos resultados posibles, que denominaremos Éxito (E) y Fracaso (F). Una prueba de este tipo se denomina ensayo de Bernoulli.
• Las pruebas son independientes, es decir que el resultado de una prueba no influye sobre el de las otras.
• La probabilidad de Éxito se mantiene constante en todas las pruebas.[pic 76]
Definición: Un experimento que satisface estos cuatro requerimientos se denomina experimento Binomial.
Variable aleatoria binomial: Consideremos un experimento binomial que consiste de n repeticiones y en el cual . Denominaremos v.a. binomial a la variable [pic 77]
Donde
el valor de la v.a. X, representa el número de éxitos (número de elementos muéstrales pertenecientes a la clase del éxito)[pic 78]
E: Éxitos; F: Fracaso; n=Tamaño de la muestra; P=población
Ejemplo son experimentos binomiales
1.-Lanzar una moneda dos o más veces, para observar el número de caras o sellos que resulten.
2.-Seleccionar dos o más artículos de un lote que contiene un porcentaje de artículos defectuosos para verificar cuántos defectuosos o cuántos buenos contiene la muestra aleatoria.
3.- Ejecutar dos o más tiros para ver cuántos dan en el blanco o cuántos no dan.
Valores de la variable Aleatoria
Como el experimento binomial genera un espacio muestral de la forma:
, éxitos, éxito,…, éxitos[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]
La v.a. toma valores como: [pic 83][pic 84]
Modelo de Distribución Probabilística
La probabilidad de conseguir exactamente éxitos, en un experimento binomial, está dado por:[pic 85]
[pic 86]
Donde, es la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoulli y n es el tamaño de muestra.[pic 87]
Se verifica:
[pic 88]
Usando la fórmula de Newton
[pic 89]
La función de cuantía llamada cuantía binomial define su correspondiente Función de [pic 90]
Distribución Binomial: [pic 91]
[pic 92]
Si [pic 93]
Ejemplos:
1.- El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces. Sea X la variable aleatoria que asocia cada resultado individual del experimento aleatorio con el número de caras obtenidas.
-Construir la función de cuantía y la función de distribución de la v.a. X
- Hallar el valor esperado y su desviación típica.
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