Matrices Y Sistemas De Ecuaciones

TEMA 0. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Matriz es el nombre genérico que en matemáticas se aplica a listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean, entre otras muchas cosas, para almacenar información, para describir relaciones, para el estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología, Estadística, Geometría,...

DEFINICIONES BÁSICAS

• Matriz de orden n x m

Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de una tabla de n filas y m columnas. Se simboliza en las formas:

, ó

ó

siendo:

a ij : el término situado en la fila i y columna j,

cj : vector-columna formado por los elementos de la columna j

(j = 1, 2, ..., m)

fi : vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., n)

Si , la matriz se denomina matriz fila.

Si , la matriz se denomina matriz columna.

Una matriz puede contener informaciones muy variadas:

- Resultado de una encuesta realizada a n individuos sobre m preguntas. Cada fila es la respuesta de un individuo.

- Una tecnología lineal que emplea n factores en m procesos productivos. Cada columna es un proceso productivo.

- Una aplicación lineal de Rn en Rm.

- Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de n ecuaciones y m incógnitas. Cada columna son los coeficientes de una incógnita.

• Matrices cuadradas

Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas n = m.

En las matrices cuadradas llamamos diagonal principal a los elementos en los que los subíndices i y j coinciden:

forman la diagonal principal.

La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina TRAZA de la matriz.

Las matrices cuadradas que tengan nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal se denominan matrices triangulares. Siendo: subtriangular si son nulos los que quedan a la izquierda y súper triangular sin son los de la derecha.

Matriz diagonal es la que tenga nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal.

Triangular superior Triangular inferior

Diagonal

OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES

Cuando los elementos de la matriz son números reales, o de cualquier cuerpo conmutativo, surge una capacidad operatoria con las matrices, o lo que es igual, surge una estructura algebraica en los conjuntos de matrices.

SUMA DE MATRICES

• Suma de dos matrices del mismo orden es la matriz que resulta al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas.

Sumándose elemento a elemento:

El elemento neutro de la suma matricial es la matriz nula, que tiene todos sus elementos iguales a cero.

Propiedades

Sean A, B, y C matrices del mismo orden y 0 la matriz nula, entonces

1. Asociativa: A + (B + C) = ( A + B ) + C

2. Conmutativa: A + B = B + C

3. Elemento neutro: A + 0 = A

4. Elemento opuesto: A + (-A) = 0

PRODUCTO DE NÚMERO REAL POR MATRIZ

El producto de un número real (k) por una matriz A = (aij) es la matriz que resulta al multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la matriz A = (aij).

siendo:

PRODUCTO DE MATRICES

El producto de una matriz A de orden n x m, por otra matriz B de orden m x p, es la matriz C, de orden n x p, cuyo elemento genérico cij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.

Propiedades

Suponiendo conformidad de órdenes entre las matrices A, B y C:

1. Asociativa:

2. Distributiva:

3. No Conmutativa:

El elemento neutro del producto matricial cuando las matrices son cuadradas es la matriz identidad, que tiene unos en la diagonal principal y el resto de elementos iguales a cero.

TRANSPOSICIÓN MATRICIAL

Transpuesta de una matriz A, de orden n x m, es la matriz At, de orden m x n, cuyas filas son las columnas de A.

Ejemplo:

Si la matriz A es cuadrada y además , la matriz coincide con A. Las matrices que cumplen se denominan matrices simétricas.

Ejemplo:

Propiedades

1. Propiedad involutiva: el resultado de transponer dos veces (o un número par de veces) una matriz, es la propia matriz.

2. La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas.

3. La transpuesta de un producto de dos matrices es el producto de las transpuestas cambiadas de orden.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

A toda matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante de A, que se simboliza como o .

Este número es una característica de la matriz que contiene información sobre la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna (y de los vectores-fila) que forman la matriz A.

Lo más relevante es el hecho de que sea igual a cero o distinto de cero. En el primer caso, los vectores son linealmente dependientes (l.d.) y en el segundo, linealmente independientes (l.i.)

El cálculo del determinante se basa en la definición que se da a continuación y en las propiedades que siguen:

DEFINICIÓN: Determinante de una matriz cuadrada (de orden n) es el número que resulta al sumar todos los productos de n elementos de la matriz que cumplan dos requisitos:

1. Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de cada columna.

2. Que a cada producto se le anteponga signo + o signo – según que haya un número par o impar de inversiones del orden natural en los subíndices de columnas, previa ordenación de los elementos de cada producto por filas, o en los subíndices de filas, previa ordenación de los elementos de cada producto por columnas.

De la definición se desprende que el número de productos que hay que sumar para calcular el determinante, coincide con el número de permutaciones que pueden hacerse con los n primeros números naturales, que es n!, y que a la mitad de ellos, hay que anteponer signo (-).

1. Determinante de una Matriz cuadra de orden 2

Número de productos 2! = 2. Ordenados los elementos por filas son de la forma . Los segundos subíndices pueden ser o . Los primeros están en el orden natural, en los segundos hay una inversión del orden natural.

2. Determinante

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