Matrices, determinantes y espacios vectoriales.

Trabajo Algebra lineal

Contenido

Matrices        

Suma y resta de matrices        

Multiplicación de una matriz por un escalar        

Producto escalar        

Productos de dos matrices        

Matriz transpuesta        

Matriz inversa        

Matriz adjunta        

Signos de una matriz        

Determinante        

Propiedades        

Espacios vectoriales        

Matrices

Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas[pic 1]

Cada renglón representa una ecuación, cada columna estará en términos de la misma variable y cada componente aij^[1] será el número de veces que esta esa variable según su respectiva ecuación[pic 2]

En este ejemplo matriz fue encerrada entre paréntesis ( ) pero también se puede usar corchetes [ ]

Las matrices pueden interactuar con otras matrices. Esto es, pueden ser sumadas, restadas, así como otros nuevos conceptos de interacción.

Suma y resta de matrices

[pic 3]

La suma de matrices es muy sencilla, ya que se sumará el valor de las respectivas posiciones de ambas matrices en una nueva matriz. No se pueden sumar matrices que son de diferente tamaño.

Multiplicación de una matriz por un escalar

[pic 4]

Una matriz puede ser multiplicada por cualquier cofactor (ósea cualquier número) donde el resultado será una nueva matriz donde cada posición será multiplicada por el número que multiplica la matriz.

Producto escalar

[pic 5]

El producto escalar se refiere a cuanto se proyecta un vector en otro vector. Algo así como la sombra del vector.

Ejemplo 1

[pic 6] 

Ejemplo 2

[pic 7]

Productos de dos matrices

[pic 8]

Para multiplicar dos matrices, estas tienen que cumplir una condición: el tamaño del renglón de la primera matriz debe ser del mismo tamaño que la columna de la segunda matriz.

Esto nos dice que si dos matrices que se pueden multiplicar AB puede que no se puedan multiplicar por BA.

Si se quieren multiplicar más de dos matrices se tiene que multiplicar primero dos matrices y después la siguiente matriz y así sucesivamente.

[pic 9]

Se puede multiplicar una suma de matrices, donde primero se realiza la suma de las matrices y después de hace la multiplicación, o se puede multiplicar cada termino por la matriz a multiplicar

[pic 10]

Matriz transpuesta

[pic 11]

[pic 12]

Una matriz transpuesta es una matriz donde sus renglones se convierten en columnas y sus columnas ahora son renglones.

Matriz inversa

[pic 13]

Una matriz inversa es aquella que si se multiplica por su matriz el producto de las dos matrices va a ser una matriz diagonal

Matriz adjunta

La matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

[pic 14]

Signos de una matriz

[pic 15]

Esta matriz nos sirve sobre todo en los determinantes para saber que signo debe de llevar en el proceso cierta operación que se hace en relación a esa posición de la matriz.

Determinante

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo.

Se representa como una matriz con de det a su izquierda, una letra que representa la matriz con det a su izquierda, un acomodo de números (como si fuera una matriz) donde en sus lados derecho e izquierdo tiene dos líneas rectas encerrando el arreglo de números o con una letra en medio de dos líneas rectas encerrando a la letra[pic 16]

El resultado de una determinante va a ser un número, el cual se obtiene de la siguiente forma

[pic 17]

Lo que se hace es agarra cualquier fila o cualquier columna. En este ejemplo se eligió el primer renglón para hacer más fácil su comprensión. Se coloca el primer número de la fila o columna elegida, la cual va a multiplicar a una nueva determinante formada por el resto de arreglos de números menos la columna y fila

Luego se toma el primer número de la fila o la columna elegida, la cual va a multiplicar una nueva determinante formada por la misma determinante, pero sin el renglón y sin la columna donde se encuentra el número elegido.

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