Noción y utilidad de la estadística y probabilidad

1.1 Noción y utilidad de la estadística y probabilidad:

Definición de Estadística: La Estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una información cuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc. y deducir de ello gracias al análisis de estos datos unos significados precisos o unas previsiones para el futuro.

La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación, organización presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con el fin de realizar una toma de decisión más efectiva.

Utilidad e importancia: Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva, por ejemplo trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas.

Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.

Definición básica de Probabilidad: La Probabilidad pertenece a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento.

1.2 Conceptos básicos y operaciones elementales en la teoría de conjuntos: Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:

o : el conjunto vacío, que carece de elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q: el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

o A := {1,2,3, ... ,n}

o B := {p  Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota AB, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A;

B  A es un subconjunto propio de A si A y B  A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A).

Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos:

Si A = {a, b} entonces  (A) = {, {a}, {b}, A}.

Si a  A entonces {a} (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

Operaciones Entre Conjuntos:

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B:= {a A | a  B}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto AB:= (A - B)  (B - A).

Si A   (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

o  ' = U.

o U ' = .

o (A')' = A.

o A B  B' A’.

o Si A = {xU | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,

es decir: A  B:= {x | xA  x B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,

es decir: A  B:= {x | x  A  x  B}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A  B'.

En este caso, las llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades:

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia A A = A A  A = A

2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A

3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C

4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A

5.- Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )

6.- Complementariedad A  A' = U A  A' = 

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

o A   = A, A   =  (elemento nulo).

o A  U = U, A  U = A (elemento universal).

o (A  B)' = A'  B’, (A  B)' = A'  B' (leyes de Morgan).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:

A  B:= {(a, b): a  A  b  B}

Dos pares (a, b) y (c, d) de A  B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica

A  B = C  D  (A = C  B = D)

Se llama grafo relativo a A  B a todo subconjunto G Í A ´ B.

Dado un grafo G relativo a A  B, se llama proyección de G sobre A al conjunto

ProyAG:= {a  A: (a, b)  G,  b  B}

Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre B.

Por último, los conceptos anteriores

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