Números Complejos Potencias de i

Potencias de i

Tomando en cuenta que la unidad imaginaria i es la representación de un número

√-1, se puede entonces, calcular la potencia de la unidad imaginaria i elevada al cuadrado, la cual sería igual a -1, tomando esto como base, al elevar i a la tercera potencia, tendríamos una expresión matemática que se podría representar como la multiplicación de i con i2, cuyo producto daría como resultado -i. Así mismo, podríamos elevar i a la cuarta potencia, al multiplicar i2 por i2, lo que nos daría como resultado 1.

Al elevar i a la quinta potencia, estaríamos repitiendo un ciclo.

[pic 1]

Se observa que cada cuatro potencies sucesivas de la unidad imaginaria se repiten las

soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n ∈ N0, cualquiera, se

puede determinar su resultado al dividir el exponente entre 4.

El resultado del residuo de dicha división sería el equivalente a uno de los primeros 4 exponentes de i, con el cual, podríamos determinar de forma fácil, el valor de dicha expresión.

Ejemplos

i9  

                  i9 = i1 = i        [pic 2]

i23[pic 3]

                                    i23 = i3 = -i        

i914

                               [pic 4]

                                    i914 = i2 = -1                                 

i3332

[pic 5]

                                     i3332 = i0 = 1                                 

Módulo o valor absoluto de un número complejo

Tomando en cuenta que un número complejo es un par ordenado de números reales de la forma a+bi, siendo bi la unidad imaginaria, cuya representación también se puede realizar con la forma (a,b), siendo a la parte real y b la parte imaginaria, se deduce que, cada complejo se representa en el plano real como un único

punto y a su vez cada punto del plano real representa un único número complejo.

Por lo tanto, existe una relación biunívoca entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de los puntos del plano real. A dicho punto se lo denomina afijo.

También, se puede representar a un número complejo mediante un vector denominado

vector posición que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el afijo.

[pic 6]

Dicho de forma más clara, un número complejo se puede representar en el plano cartesiano, tomando el eje horizontal del plano como referencia para los valores reales, y a su vez, el eje vertical para los valores imaginarios.

Dada esta definición de su representación, podemos ubicar el módulo de un número complejo, el cual se define como |z|, y representa la distancia de z al origen, es decir, la longitud del vector libre (x,y) de R2.[pic 7]

Por tanto, el módulo nunca puede ser un número real negativo. El módulo de un número real coincide con su valor absoluto.

Otra forma de expresar el módulo de un número complejo es mediante la expresión  donde  es el conjugado de z, siendo el producto de un número complejo por su conjugado igual a (x + i • y) = x2 + y2 un número real y positivo.[pic 8][pic 9]

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