POTENCIA DE “i” MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO

INDICE

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………...…..2

1. DEFINICION Y ORIGEN DE NUMEROS COMPLEJOS………............5

1. OPERACIONES FUNDAMENTALES

 CON NUMEROS COMPLEJOS…………………………………………………………..7

1. POTENCIA DE “i” MODULO O VALOR

 ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO………………………………………….9

1. FORMA POLAR EXPONENCIAL

DE UN NUMERO COMPLEJO……………………………………..….………10

1. TEOREMA DE MOIVRE POTENCIAS Y

EXTRACCION DE RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO………………….12

1. ECUACIONES POLINÓMICAS…………………………………….……………14

CONCLUSIÓN…………………………………………………………………………………16

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………..…………17

INTRODUCCIÓN

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado1 . El conjunto de los números complejos se designa con la notación[pic 1], siendo [pic 2] el conjunto de los números reales se cumple que                              [pic 3]([pic 4] está estrictamente en[pic 5]). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

[pic 6]

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

La unidad imaginaria se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i (j en física), llamado unidad imaginaria, definido como

[pic 7]

Que satisface la siguiente igualdad:

[pic 8]

De donde resulta:

[pic 9]

Tomando en cuenta que[pic 10], cabe la identificación

[pic 11]

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ    e    y = r sen θ

La ecuación

eiθ = cos θ + i sen θ

Que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

La  Formula de Moivre,  proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Se llaman ecuaciones polinómicas con una incógnita a las ecuaciones que son de la forma P(x)=0 donde P(x) es un polinomio. El grado de una ecuación polinómica es el grado del polinomio.

1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE NUMEROS COMPLEJOS

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria imag, ambos del tipo predefinido double.

El concepto de número imaginario y después complejo se conoce en las matemáticas y se utiliza desde tiempos remotos. La historia de su surgimiento refleja aquel rasgo general de desarrollo de los cálculos matemáticos donde la introducción y utilización de las operaciones inversas conduce, como regla, a la necesidad de ampliación del dominio numérico. Así, la introducción de la sustracción necesito al fin y al cabo de la complementación de la serie natural con los números negativos, la división condujo a la ampliación de la serie natural hasta el conjunto de los números racionales. A su vez la operación de radicación resulto la causa operativa de introducción del concepto del número real. El caso particular, cuando se trata se la extracción de raíz de potencia par de un número negativo exigía la introducción de los números imaginarios. Solo en el siglo XVI en relación con la resolución algebraica de las ecuaciones cubicas R.Bombelli (1572) se apartó del tratamiento de los números imaginarios como misteriosos o absurdos y elaboro las reglas de las operaciones aritméticas con los números imaginarios. No obstante, aún en el curso de mucho tiempo, a pesar de algunas ideas exitosas (por ejemplo, de Wallis) respecto a la interpretación de los números imaginarios y complejos, su naturaleza no fue comprendida y la relación con ellos era como con cierta sustancia sobrenatural en las matemáticas. Incluso en el año 1702 G.W. Leibniz escribió que los números imaginarios es un hermoso y maravilloso refugio del espíritu divino, casi como la duabilidad entre la existencia y la no existencia. En la historia no hubo insuficiencia en semejantes afirmaciones sobre las propiedades místicas de los imaginarios, también por parte de otros científicos. La poca claridad del concepto de número complejo no podía esconder su utilidad en la resolución de problemas concretos. Una gran cantidad de los hechos acumulados dio motivo a los matemáticos del siglo XVIII para trasladar el concepto de lo imaginario también al campo de las magnitudes variables. Ya que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia del carácter del problema, las magnitudes imaginarias se representaban frente a los investigadores con diferentes “apariencias”: física, geométrica o incluso analítica. El problema de la interpretación científica de los números complejos se resolvía a la vez en diferentes planos, junto con el desarrollo general del análisis matemático.

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