Trigonometria Esferica

Ingeniería Hidráulica

BERNABÉ BECERRA C.

Universidad Nacional de Cajamarca

Facultad de ingeniería

E. A. P. Ingeniería Hidráulica

ASIGNATURA:

MATEMÁTICA II

TEMA:

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

DOCENTE:

Ing°. Msc. Albertico Bada Aldave

ESTUDIANTE:

Becerra Cabanillas, Bernabé.

CAJAMARCA - PERÚ

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

INTRODUCCIÓN.

La trigonometría es una rama de la matemática en la que se analiza las medidas de las partes de los triángulos, tanto los triángulos planos como de los esféricos, así como de las figuras que se forman con ellos.

Entonces la trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos; la resolución de triángulos esféricos rectángulos y acutángulos. La trigonometría esférica tiene especial relevancia en la astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

CONCEPTOS BÁSICOS.

Diedro.- Según la figura el diedro es la región del espacio limitado por dos semiplanos “a y b” y limitados por la recta común “AB”.

Donde a los semiplanos “a y b” se les denomina CARAS y a la recta común “AB” se denomina ARISTA.

Así mismo al trazar las rectas HE y EF perpendiculares a “AB”, muestra el ángulo del diedro (∡HEF) que forma los semiplanos (a y b).

Triedro.- Con tres semirrectas en el espacio no situadas en el mismo plano y con origen común en un mismo punto “V” forman el triedro.

Donde a las semirrectas se les denomina ARISTA y el punto “V” se denomina triedro, los ángulos que determinan cada dos aristas consecutivas se llaman lados o caras del triedro y su medida es siempre menor que 180º y se denota por las letras a, b y c.

Propiedades:

En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su módulo de la diferencia.

│a - c│ < b < a + c

│a - b│< c < a + b

│b - c│< a < b + c

En todo triedro, a mayor ángulo diedro se opone mayor cara y viceversa.

A > B ↔ a > b A < B ↔ a < b

B > C ↔ b > c B < C ↔ b < c

A > C ↔ a > c A < C ↔ a < c

La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro ángulos rectos.

a+b+c<360°

La suma de los tres ángulos diedros de un triedro está comprendida entre dos y seis ángulos rectos.

180°<A+B+C<540°

Circunferencia o ciclo.

La geometría de la esfera se basa en los conceptos de circunferencias máximas, circunferencias menores y arcos de estas figuras.

Se llama circunferencia máxima a la intersección de la esfera con un plano que contiene el centro de dicha esfera.

Si el plano que interseca la esfera no contiene al centro, entonces la intersección del plano con la esfera es una circunferencia menor.

Dado los puntos A y B en la esfera constituyen un solo plano, que la intersección con la esfera definen el ciclo AB.

Distancia esférica.

La distancia esférica está dada por la longitud del menor arco de ciclo comprendido entre los puntos A y B. entonces la medida de la distancia AB es la del ángulo plano AOB.

Dos ciclos siempre se cortan en dos puntos P y P’ diametralmente opuestos.

Ángulo esférico.

Se llama ángulo esférico “α” entre dos ciclos al ángulo formado por las dos tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto. Puesto que dichas tangentes son perpendiculares al diámetro PP’, el ángulo esférico “α” es el correspondiente al diedro formado por los plano de los dos ciclos y su medida es la misma que la del arco AC.

TRIÁNGULO ESFÉRICO.

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de circunferencias máximas que se cortan dos a dos, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del triángulo así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que:

180°<α+β+γ<540°

Cuando se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la esfera, se obtiene un triedro. Entonces se puede dar otra definición de triángulo esférico, diciendo que es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro.

Los tres puntos A, B y C de intersección de las aristas del triedro con la esfera son los vértices o ángulos del triángulo esférico y su medida es la misma que la de los diedros del triedro, OA, OB y OC. De acuerdo a esto es evidente que los ángulos de las caras y los ángulos diedros de un triedro no se alteran en magnitud si varía el radio de la esfera. Por lo tanto la relación de los lados y los ángulos del triángulo esférico son independientes de la longitud del radio de la esfera.

Los lados de un triángulo esférico, siendo arcos, son expresados normalmente en unidades angulares, grados o radianes. Si se desea conocer la dimensión lineal de un lado, será necesario saber el radio de la esfera correspondiente al triángulo esférico. En la práctica la longitud de un lado (arco) puede hallarse en función de cualquier unidad lineal, por medio de la siguiente analogía.

(Longitud del ciclo)/(Longitud del arco)=(360°)/(grados del arco)=2πr/l

Clasificación del triángulo esférico.

Teniendo en cuenta las propiedades de los triángulos esféricos, estos pueden tener más de un lado y un ángulo recto. Según esto se clasifican en:

Un triangulo esférico se llama isósceles si tiene los dos iguales

Un triangulo esférico se llama equilátero si tiene los tres lados iguales

Un triangulo esférico se llama rectángulo si tiene un ángulo recto

Un triangulo esférico se llama rectilátero si tiene un lado recto

Un triangulo esférico se llama birrectángulo si tiene dos ángulos rectos

Un triangulo esférico se llama birrectilátero si tiene dos lados rectos

Propiedades del triángulo esférico.

Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que una semicircunferencia.

Cada lado de un triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que el módulo de su diferencia.

│a - c│ < b < a + c

La suma de los lados de un triángulo esférico es menor que cuatro ángulos rectos.

a+b+c<360°

En un triángulo esférico a mayor lado se opone mayor ángulo, y recíprocamente.

a > b ↔ A > B A > B ↔ a > b

En un triángulo esférico a lados iguales se oponen ángulos y iguales y recíprocamente

a = b ↔ A = B A = B ↔ a = b

La suma de los tres ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos ángulos rectos y menor que seis ángulos rectos. 180°<A+B+C<540°

TRIÁNGULO POLAR O SUPLEMENTARIO.

Dado u triángulo ABC de lados a, b, y c se denomina triángulo polar a aquellos cuyo lados ap, bp, cp son suplementarios de los vértices A, B y C del triángulo dado, y los vértices Ap, Bp y Cp son suplementarios de los lados a, b, c; es decir:

■(A_p=180°-a ; B_p=180°-b ; C_p=180°-c@a_p=180°-A ; b_p=180°-B ; c_p=180°-C)

Exceso esférico y defecto esférico.

Sea un triangulo esférico ABC, entonces se denomina: Exceso esférico al valor de la suma de los ángulos del triángulo esférico excede a 180º, denotado por “є”, es decir:

∈=A ̂+B ̂+C ̂-180° o ∈^I=A'+B'+C'-π, dependiendo en que unidades estén expresados los ángulos.

Y se denomina defecto esférico al valor de la diferencia de 360º y el perímetro del triángulo esférico es decir: d=360°-(a+b+c) o también d=360°-2p, sabiendo que 2p es el perímetro ( 2p=a+b+c)

ÁREA DEL TRIÁNGULO ESFÉRICO.

Sea ABC un triángulo esférico sobre una esfera de radio “r”, entonces el área o superficie seria igual el radio al cuadrado por exceso esférico.

S=r^2 π/(180°)∈ S=r^2 π/(180°)(A ̂+B ̂+C ̂-180°)

O también,

S=r^2 ∈^I S=r^2 (A^'+B^'+C'-π)

Entonces para calcular el área o superficie de un polígono esférico, situado sobre una esfera de radio “r”, de “n” lados y de vértices A1, A2, A3, …, An; se determinaría por:

S=r^2 π/(180°)[A_1+A_2+A_3+⋯+A_n-(n-2)180°]

O También

S=r^2 [〖A'〗_1+〖A'〗_2+〖A'〗_3+⋯+〖A'〗_n-(n-2)π]

Ejemplos.

¿Cuál es la superficie del triángulo esférico, que está sobre la esfera cuya superficie es de 4cm2 y sus ángulos miden 60º, 108º y 125º?

SOLUCIÓN.

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