Unidad probabilidad y estadistica

Unidad 2 Probabilidad  

• Competencia específica que desarrollar:

Conocer y aplica los axiomas y teoremas de probabilidad para dar solución a problemas relacionados con fenómenos aleatorios.

2.1 TEORIA DE CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de objetos. Se designa con letras mayúsculas A, B, etc. Para describir que objetos están contenidos en el conjunto A, se dispone de tres métodos:

1. Anotar los elementos de A, por ejemplo A = {1,2,3,4} indica que el conjunto contiene los enteros positivos 1,2,3,4.
2. Describir al conjunto A con palabras, podemos decir que A esta formado por todos los números reales entre 0 y 1.
3. Podemos escribir A = {}, es decir A es el conjunto de todas las x, donde x es un número real comprendido entre 0 y 1.[pic 1]

Los objetos que forman la colección del conjunto A se llaman miembros o elementos de A. Cuando  es un elemento de A escribimos  y cuando  no es un elemento de A escribimos [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Existen dos conjuntos especiales que son de interés. El conjunto universal se define como el conjunto de todos los objetos que se consideran; normalmente se designa U.

El conjunto nulo o vacío se define como el conjunto que no contiene elementos se designa [pic 6]

Puede suceder que dados dos conjuntos A y B un elemento de A es también un elemento de B. Se dice que A es un subconjunto de B y se escribe A c B. Se da una interpretación semejante a B c A.

Decimos que dos conjuntos son el mismo A=B, si y solo si A c B y B c A; esto es, dos conjuntos son iguales si y solo si contienen los mismos elementos.

Las dos propiedades del conjunto nulo son:

1. Para cualquier conjunto a se tiene [pic 7]
2. Una vez que el conjunto universal se ha acordado, entonces, para cualquier conjunto A considerando que esta en U, tenemos A c U.

Ahora considerando la idea de combinar conjuntos dados con el fin de formar un nuevo conjunto. Definamos C como la unión de A y B de la manera siguiente:

[pic 8]

Escribimos C=A U B, C está formado por elementos que están en A, o en, o en ambos.

Definimos D como la intersección de A y B como sigue:

[pic 9]

Escribimos  posee todos los elementos que están en A y B.[pic 10]

El complemento de un conjunto A, designado por  formado por todos los elementos que no están en A (sino el conjunto universal U) se llama el complemento de A. [pic 11]

Esto es [pic 12]

Se puede usar un recurso grafico como grafica de Venn cuando se combinan conjuntos.

Las operaciones anteriores de unión e intersección definidas justamente para dos conjuntos pueden extenderse de una manera obvia para cualquier número finito de conjuntos.

Definimos  como  De igual manera, definimos [pic 22][pic 23]

 como [pic 24][pic 25]

1. [pic 26]
2. [pic 27]
3. [pic 28]
4. [pic 29]

Hay otros conjuntos identidades que contienen unión, intersección y complementación. Los más importantes de estos son los siguientes:

1. [pic 30]
2. [pic 31]
3. [pic 32]
4. [pic 33]
5. [pic 34]
6. [pic 35]
7. [pic 36]

Sean A y B dos conjuntos, indicaremos como el producto cartesiano A y B escrito como   A x B al conjunto {(a,b), a A, b , esto es, el conjunto de todos los pares ordenados en donde el primer elemento se toma de a y el segundo de B. [pic 37][pic 38]

2.3 EXPERIMENTOS ALEATORIOS (NO DETERMINISTICOS).

DEFINICION.

Un experimento aleatorio es aquel que proporción diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera, no se puede predecir lo que va a suceder. Notación: ε.

EJEMPLOS

    Lanzamiento de un dado.[pic 39]

    Lanzamiento de dos monedas.[pic 40]

    Se transmite 3 bits y cada uno se clasifica como erróneo o no erróneo.[pic 41]

   Se utiliza un amperímetro con tres dígitos para medir corriente en miliampers.[pic 42]

     Se conecta una lámpara cuyo ahorro de energía en un receptáculo y se cuenta el                tiempo en horas hasta que se funda.[pic 43]

2.4 CONCEPTOS BASICOS DE LA TEORIA DE PROBABILIDAD.

2.4.1 EL ESPACIO DE MUESTRAS.

DEFINICIÓN.

El espacio de muestras se define como todos los posibles resultados de un experimento aleatorio “ε”.

EJEMPLO.

En base a los experimentos anteriores describa el espacio muestral.[pic 44]

        S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}[pic 45]

2.4.2 EVENTOS O SUCESOS.

DEFINICION.

Sea ε un experimento aleatorio, un evento es un subconjunto de espacios de muestras. Usualmente los eventos se simbolizan con letras mayúsculas A, B, C, D, etc.

A los posibles subconjuntos de S lo voy a simbolizar [pic 46] conocida como la Familia de eventos (subconjuntos).

PROPIEDADES

1. S y Ф  [pic 48][pic 47]
2. Sea  son una sucesión de eventos.[pic 49]

                                             [pic 53][pic 50][pic 51][pic 52]

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