ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Las Matemáticas Financieras son una disciplina que tiene por objeto el estudio de un importante cuerpo de fenómenos de la actividad económica conocidos con el nombre de operaciones financieras. La actividad financiera surge paralelamente a la economía monetaria, en la que el dinero es unidad de cuenta, medio de pago o instrumento de cambio, depósito de valor o activo financiero, y en la que los bienes económicos son expresados en función de dos magnitudes, capital financiero, medido en unidades monetarias, y tiempo o momento en el que se puede disponer del mismo; de esta manera, el intercambio de bienes económicos así entendido da lugar a la aparición de los fenómenos y las operaciones financieras

La Matemática Financiera es una rama de la Matemática Aplicada, pero no se basa en la existencia de leyes regidas, absolutas. Son un conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.

El presente trabajo de investigación tiene como propósito desarrollar las unidades 3(anualidades) y 4(amortización), que son parte primordial de las matemáticas financieras ya que se aplican principalmente a problemas financieros.

III. ANUALIDADES

3.1 CONCEPTO

Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo (generalmente de un año) que se llaman intervalos de pago.

3.1.1 ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD

En una anualidad intervienen los siguientes elementos:

• Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente.

• Renta anual: Suma de los pagos hechos en un año.

• Plazo: Es la duración de la anualidad. El número de veces que se cobra o se paga la renta.

• Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. (WIKIPEDIA, 2014)

Algunos ejemplos de anualidades son:

1. Pagos mensuales por renta

2. Cobro quincenal o semanal por sueldo

3. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito

4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida. (GALEON, 2014)

3.1.2 CLASIFICACION

Existen cuatro criterios de clasificación de las anualidades:

Según su tiempo: pueden ser:

 Anualidades ciertas: Si se conocen las fechas de inicio y terminación de la anualidad.

 Anualidades eventuales o contingentes: Si una de las dos fechas de inicio o terminación se desconocen.

Según los periodos de capitalización o de pago:

 Anualidades simples: Si el periodo de capitalización y el de pago son iguales.

 Anualidades generales: Si los periodos de pago y de capitalización son diferentes.

Según el momento en que se realiza el pago de la renta:

 Anualidad ordinaria: Si el pago de la renta se realiza al final de cada periodo. Se le llama también anualidad vencida.

 Anualidad anticipada: Se llama así porque los pagos se realizan al principio de cada periodo.

Según el periodo en que se realiza el primer pago:

 Anualidad inmediata: Si el primer pago de la renta se realiza en el primer periodo.

 Anualidad diferida: Si el primer pago de la renta se realiza varios periodos después del inicio.

3.2 ANUALIDADES VENCIDAS

También se le conoce como anualidad ordinaria. Cuando el pago de la anualidad se efectúa al final del intervalo de pago, se llama anualidad ordinaria; y si se efectúa al principio del intervalo de pago, se llama anualidad anticipada.

En una anualidad ordinaria simple, los pagos se efectúan periódicamente según un cierto intervalo de pago que coincide con los periodos de interés y, además, cada pago se realiza al final del primer intervalo, el segundo al final del segundo intervalo, etc...

¿Cómo calcular el capital, valor final, en que se convierte una anualidad en un cierto periodo de tiempo? (SECTOR MATEMATICAS, 2014)

Ejercicio: 1. Calcular el valor final de una anualidad ordinaria de 10 000 pesos anuales durante 4 años al 5 % de interés.

Resolución: Como es una anualidad ordinaria, el primer pago se efectuará al final del primer año.

Los 10 000 pesos del primer pago estarán invertidas durante 3 años, puesto que la anualidad es de 4 años y ya ha transcurrido uno. Luego el primer pago gana intereses durante 3 años. Al final del plazo de la anualidad, esos 10 000 pesos se habrán convertido en

10 000 (1 + 0,05)3 pesos= 11 576,25 pesos

Por el mismo razonamiento, el segundo pago produce intereses durante dos años, por lo que se convierte en

10 000 (1 + 0,05)2 pesos= 11 025 pesos

El tercer pago produce intereses durante 1 año:

10 000 (1 + 0,05) pesos= 10 500 pesos

Y el último pago coincide con el final del plazo de la anualidad, por lo que no produce ningún interés. Llamando V al valor final de la anualidad:

V = 11 576,25 + 11 025 + 10 500 + 10 000 = 43 101

V = 43 101 pesos

Se observa que el valor final de la anualidad es la suma de los valores finales de cada uno de los pagos invertidos a interés compuesto hasta el final del plazo de la anualidad.

Cálculo del valor final de una anualidad ordinaria

Sea R el pago periódico de una anualidad ordinaria, i la tasa de interés por periodo de interés, n el número de intervalos de pago (igual al número de periodos de interés por ser una anualidad ordinaria) y V el valor final de dicha anualidad.

El primer pago R se convertirá en R (1 + i )n - 1, puesto que está invertido durante (n - 1) periodos de interés.

El segundo pago R, se convertirá en R (1 + i )n - 2

El penúltimo pago se convertirá en R (1 + i )1

El último pago será R.

El valor final será:

V = R + R (1 + i ) + R (1 + i )2 + ... + R (1 + i )n - 2 + R (1 + i )n - 1

Como puede observarse, se ha obtenido la suma de n términos de una progresión geométrica de razón (1 + i ) y término inicial, R.

Aplicando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión

3.3 ANUALIDADES ANTICIPADAS

Una anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al inicio del periodo de renta. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos anuales (primas) de un seguro de vida, la renta de una casa u oficina; algunos planes de crédito estipulan que los pagos deben realizarse al comienzo de los periodos convenidos, etcétera.

3.4 ANUALIDADES DIFERIDAS

La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere

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