Ecuación

1

2

3

4

5

6Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.

72x + y ≤ 3

82x + y > 3

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 • 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 • 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 • 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

2x + y > 3

2 • 0 + 0 > 3 0 > 3 No

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

x2 − 6x + 8 > 0

2x2 + 2x +1 ≥ 0

3x2 + x +1 > 0

47x2 + 21x − 28 < 0

5−x2 + 4x − 7 < 0

6

74x2 − 4x + 1 ≤ 0

8

9x4 − 25x2 − 144 < 0

10x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

El conjunto solución de una inecuación con valor absoluto viene dado por las siguientes propiedades:

• |x| < a se expresa como:

- a < x < a

• |x| > a se expresa como:

x < - a ó x > a

• |x| ≤ a se expresa como:

- a ≤ x ≤ a

• |x| ≥ a se expresa como:

Expresión con valor absoluto

a > 0 Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto

|x| = a La distancia de x al origen es a x = ± a

|x| < a La distancia de x al origen es estrictamente menor que a - a < x < a

|x| ≤ a La distancia de x al origen es menor o igual que a - a ≤ x ≤ a

|x| > a La distancia de x al origen es estrictamente mayor que a x >a ó x < - a

|x| ≥ a La distancia de x al origen es mayor o igual que a x ≥ a ó x ≤ - a

0 < |x| < a La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayorque 0 0 < |x| ⇔ x≠ 0

|x| < a ⇔ - a < x < a

Por tanto:

0 < |x| <a ⇔ x≠ 0 y - a < x < a

e < |x| < a

(e > 0 , e < a) La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayorque e e < |x| ⇔ x > e ó x < - e

|x| < a ⇔ - a < x < a

Por tanto:

0 < |x| < a ⇔

- a < x < -e ó e < x < a

x ≤ - a ó x ≥ a

Expresión con valor absoluto

d > 0 Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto

|x - c| = d La distancia entre x y c es d x - c = ± d ⇔

x = d + c ó x = - d +c

|x - c| < d La distancia entre x y c es estrictamente menor que d - d < x - c < d ⇔

- d + c < x < d + c

|x - c| ≤ d La distancia entre x y c es menor o igual que d

- d ≤ x - c ≤ d ⇔

- d + c ≤ x ≤ d + c

|x - c| > d La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d x - c > d ó x - c < - d

Por tanto:

x > c + d ó x < c - d

|x - c| ≥ d La distancia entre x y c es mayor o igual que d x - c ≥ d ó x - c ≤ - d

Por tanto:

x ≥ c + d ó x ≤ c - d

0 < |x - c| < d La distancia entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que0 0 < |x - c| ⇔ x - c ≠ 0 ⇔ x ≠c

|x - c| < d ⇔ - d + c < x < d + c

Por tanto:

0 < |x - c| < d ⇔

x ≠c y - d + c < x < d + c

e < |x- c| < d

(e > 0 , e < d) La distancia de x al origen es estrictamente menor que d y estrictamente mayorque e e < |x - c| ⇔ x > c + e ó x < c - e

|x| < d ⇔ - d < x < d

Por tanto:

0 < |x| < d ⇔

c - d < x < c - e ó c + e < x < c + d

...