Matematicas Especiales Colaborativo 3

TRABAJO COLABORATIVO NO. 3

MATEMÁTICAS ESPECIALES

CURSO 299010

GRUPO

TUTOR

MIGUEL MONTES MONTAÑO

COLOMBIA

QUIBDO-CHOCO

9 de Noviembre de 2012

ACTIVIDAD No. 1

Realizar un cuadro comparativo, tal como se muestra en la figura de abajo donde escriba los elementos que se piden sobre las tres trasformadas:

Temas Concepto Ventajas Desventajas

Transformada de Laplace Sea f una función definida para . Entonces la integral

Se llama Transformada de Laplace de , siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de . Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales.

Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

Transformada de Fourier La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

En matemática, la transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es , es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia –hercios,) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

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