DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

UNIDAD I

NUMEROS COMPLEJOS

OBJETIVO 1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

La primera referencia conocida raíces cuadradas de un número negativo proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón  de Alejandría en el siglo I acá , como resultado de una imposible sección de una pirámide. Loa complejos se hicieron más patentes en el siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas  de los polinomios de grado 2 y 3 fueron encontradas  por matemáticos italianos ,como tartaglia, cardano.

Aunque solo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones , se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue el descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss .La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el siglo XIX .

Los algebristas de los siglos XV y XVI , al buscar una solución para algunas ecuaciones  de segundo grado , por ejemplo:   , se encontraron  con .[pic 1][pic 2]

Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución , ya que no hay un número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de  “definir”  nuevos números de la forma: a+b.i  donde a y b son numero reales  e i  es  , que permitirán resolver cualquier ecuación de segundo grado . Estos nuevos números se llaman números complejos ( c )[pic 3]

OBJETIVO 1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS

( 3 + 2i ) + ( -7 – i ) = 3 - 7 + 2i - i =-4 + i

(-7 – i ) + (3 + 2i) = -7 + 3 - i + 2i= -4 + i

( 8 - 6i ) - ( 2i – 7 ) = 8 + 7 - 6i - 2i = 15 - 8i

( 5 + 3i ) + { ( -1 + 2i ) + ( 7 - 5i ) } = ( 5 + 3i ) + { -1 + 7 + 2i - 5i } = ( 5 + 3i ) + ( 6 - 3i ) = 5 + 6 + 3i - 3i = 11[pic 4][pic 5]

{ ( 5 + 3i ) + ( -1 + 2i ) } + ( 7 - 5i ) = { 5 – 1 + 3i + 2i } + ( 7 - 5i ) = ( 4 + 5i ) + ( 7 - 5i ) = 4 + 7 + 5i - 5i = 11[pic 6][pic 7]

( 2 - 3i ) ( 4 + 2i ) = 8 + 4i + 12i - 6i2 = 8 + 4i - 12i – 6 ( -1 ) =  8 + 4i - 12i + 6 = 14 - 8i

( 4 + 2i ) ( 2 - 3i ) = 8 - 12i + 4i - 6i2 = 8 - 12i + 4i – 6 ( -1 ) = 8 - 12i + 4i + 6 = 14 - 8i

( 2 – i ) { ( -3 + 2i ) ( 5 - 4i ) } = ( 2-i ) { -15 + 12i + 10i - 8i2 } = ( 2 – i ) { -15 + 12i + 10i – 8 ( -1 ) } = ( 2 - 1) { -15 + 12i + 10i + 8 } = ( 2 – i ) ( -7 + 22i ) = - 14 + 44i + 7i - 22i2 = -14 + 44i + 7i – 22 ( -1 ) = -14 + 44i + 7i + 22

 = 8 + 51i

( -1 + 2i ) { ( 7 - 5i ) + ( -3 + 4i ) } = ( -1 + 2i ) { 7 – 3 - 5i +4i } = ( -1 + 2i ) ( 4 – i ) = -4 + i + 8i - 2i2 = -4i + 8i – 2 (-1 ) = -4i + 8i + 2 = -2 + 9i

[pic 8]

[pic 9]

Ejemplo #1 si=2+i,=3-2i, y = hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones.[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

1. | 3-4 |= |3(2+i)-4(3-2i)|=|6+3i-12+8i|=|-6+11i|=[pic 14][pic 15][pic 16]

1.  .[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23][pic 24]

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[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

OBJETIVO 1.3 POTENCIAS DE “i” , MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO

Si=1-i,=-2+4i, y = hallar el valor numérico de la siguiente expresión.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37]

1. [pic 38]

1. [pic 39]

1. [pic 40]

Si=1-i,=-2+4i, y = hallar el valor numérico de la siguiente expresión.[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

1.                    b)                      c)   [pic 45][pic 46][pic 47]

1. [pic 48]

1.  [pic 49]

[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

1. [pic 54]

Representación gráfica de números complejos en forma vectorial...

[pic 55]

1. (3+4i)+(5+2i)= 3+5+4i+2i= 8+6i        [pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

                                                                          Y

        X

 EFECTUAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES EN FORMA ANALITICA, Y GRAFICAR.

1. (6-2i)-(2-5i)= 6-2-2i+5i= 4+3i                               Y[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

OBJETIVO 1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO

Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo (x, y) o (x+iy) entonces veremos que según la figura.

[pic 78]

                                                                                                      Y

        P=(X, Y)[pic 79]

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