Ecuaciones Diferenciales Dependencia: Facultad de Ingenierías

Independencia lineal y Wronskianos

1. Si   y   son soluciones de una E.D lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Demuestre que   son linealmente independientes.[pic 3][pic 4][pic 5]

1. a) Muestre que    y   constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial  . b) Escriba la solución general de la ecuación en a).[pic 6][pic 7][pic 8]

1. Sea    y  , dos funciones definidas en el intervalo  . Encuentre el Wronskiano de    y  . [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

1. Considere la E.D.O lineal, homogénea , donde  y  son continuas en un intervalo I. Sean ,  son soluciones de esta E.D. Demuestre que su solución general está dada por  [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

     donde  es el wronskiano de  , .[pic 20][pic 21][pic 22]

     Esta solución general se conoce como fórmula de Abel.

Método de reducción de orden.

1. Resolver la E.D.    si    es una solución conocida.[pic 23][pic 24]

1. Encuentre la solución general de   sabiendo que   es una solución conocida.[pic 25][pic 26]

1. Hallar la solución general de  [pic 27]

1. Resuelva la E.D   sabiendo que  es una solución conocida.[pic 28][pic 29]

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Resolver:

1.  [pic 30]

1. [pic 31]

1.   [pic 32]

1. [pic 33]

1. [pic 34]

Método de los coeficientes indeterminados

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1.   [pic 35]
2.  .[pic 36]

1.    [pic 37]

1.    [pic 38]

1. [pic 39]

1. [pic 40]

1.  [pic 41]

Método de variación de parámetro

En los ejercicios 21 al 25 resolver la ecuación diferencial indicada:

1. [pic 42]

1. [pic 43]

1. [pic 44]

1. [pic 45]

1. [pic 46]

1. Si  la solución complementaria de

[pic 47]

       es  , muestre que su solución general está dada por [pic 48]

[pic 49]

Ecuación de Euler-Cauchy

En los ejercicios 27 al 29 encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

1. [pic 50]

1. [pic 51]

1. [pic 52]

1. Determine la constante  para que  sea solución de la ecuación diferencial                     [pic 53][pic 54]

       . Luego, obtenga la solución general. [pic 55]

1. Para  encuentre la solución general de la ecuación diferencial[pic 56]

[pic 57]

usando el cambio de variable .[pic 58]

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

1. Una fem de   voltios, donde  son constantes, se aplica en  a un circuito en serie consistente de una resistencia de  ohmios y un condensador de  faradios, donde   y  C son constantes. Si    en  , muestre que la carga en  es[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

[pic 68]

1. Una masa que pesa 20 lb estira un resorte 6 plg. La masa se libera inicialmente del reposo desde un punto situado 6 plg por debajo de la posición de equilibrio.

1. Encuentre la posición de la masa en   seg [pic 69]
2. ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando  seg?[pic 70]
3. ¿En qué momentos la masa pasa por la posición de equilibrio?

1. Un cubo de 5 pies de lado y 500 lb de peso flota en agua quieta. Se empuja hacia abajo suavemente y se suelta para que ocurran oscilaciones. Encuentre el periodo y la frecuencia de las vibraciones.

1. Un resorte vertical con constante de 8 lb/pie tiene suspendido un peso de 64 lb. Se aplica una fuerza dada por F(t) = 16 cos 4t ,  t [pic 71] 0. Asumiendo que el peso, inicialmente en la posición de equilibrio, se le da una velocidad hacia arriba de 10 pies/seg y que la fuerza amortiguadora es despreciable, determine la posición y la velocidad del peso en cualquier tiempo.

1. Un circuito consta de una inductancia de 0,05 henrios, una resistencia de 20 ohmios,   un condensador cuya capacidad es de 100 microfaradios y una f.e.m variable E(t) = 100 cos 200t voltios. Hallar i y q suponiendo las condiciones iniciales q = 0, i = 0  para t = 0.

1. Un peso de 2 lb suspendido de un resorte lo estira 1,5 pulg. Si el peso se hala 3 pilg por debajo de la posición de equilibrio y se suelta: (a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones que describan el movimiento. (b) Encuentre la velocidad y posición del peso como una función del tiempo. (c) Encuentre la amplitud, período y frecuencia del movimiento. (d) Determine la posición, velocidad y aceleración [pic 72] seg después de soltar el peso.

1. Un péndulo de longitud  y masa , suspendido en P se mueve en un plano vertical que pasa por P. prescindiendo de todas las fuerzas excepto la gravedad, encuéntrela ecuación de su movimiento.[pic 73][pic 74]
2. Una masa  se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial . Hallar la altura máxima alcanzada, suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad.[pic 75][pic 76]

1. Una barra de longitud , sección transversal  y densidad (masa por unidad de volumen)  se sumerge en un líquido de densidad . Si  denota la parte de la barra sumergida, considerando una velocidad inicial .[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

1. Demuestre que la profundidad a la cual desciende la barra es

[pic 83]

1. Si  ¿Cuál es la condición para que la barra descienda completamente?[pic 84]

1. Demuestre que la velocidad máxima de descenso se obtiene cuando   [pic 85]

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