Ejercisios: Hiperbole y elipse

Trabajo Nro. 4

Materia: Analisis 1

Fecha: 22/

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Clase 15-16

Ejercisio 1

Enunciado

1. Hallar, identificara la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia  en una razón . Dos soluciones.[pic 1][pic 2]

[pic 3]Gráfica

Desarrollo

        Primero dividimos las ordenadas a razon de  en los 2 casos posibles [pic 4]

                Caso 1

Tomamos como punto inicial el origen de cordeanadas,(( C) en el gráfico )y un punto cualesquiera D  de la circunferencia [pic 5]

        [pic 6]

        [pic 7]

        [pic 8]

                Caso 2

Tomamos como punto inicial un punto cuales quiera de la circunferencia  y como punto final el orgien de coordenadas [pic 9][pic 10]

        [pic 11]

        [pic 12]

        [pic 13]

Reemplazamos el punto  en los 2 casos posibles, con el fin de conocer los valores de   en la elipse[pic 14][pic 15]

Valor de   Caso 1[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Valor de  Caso 2[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Ya que el enunciado solo condiciona dividir el valor de las ordenadas, las absisas se mantinen, por lo que el vertice de la elipse se matendra  con las absisa  coorrespondiente de la circunferencia, que en este caso es representado por el radio

[pic 23]

[pic 24]

Escribimos las 2 ecucaiones con los diferentres valores de b posibles

        [pic 25]

Caso 1, valor de b 1

[pic 26]

Caso 2, valor de b 2

[pic 27]

Resuesta

        [pic 28][pic 29]

[pic 30]

Clase 15-16

Ejercisio 2

Enunciado

1. Analizar y graficar la siguiente elipse: [pic 31]

Gráfica

[pic 32]

Desarrollo

        Primero agrupas términos semejantes

                [pic 33]

                Determinación de b                        Determinación de c

                                                        [pic 34][pic 35]

                                                                [pic 36][pic 37]

        Completamos los cuadrados

                 [pic 38]

                [pic 39]

                [pic 40]

        Determinación de  y [pic 41][pic 42]

                                                        [pic 43][pic 44]

        [pic 45]

        [pic 46]

        [pic 47]

Respuesta

        Ecuación ordinaria: [pic 48]

        Centro: [pic 49]

        Focos: [pic 50]

                [pic 51]

        Vertices: [pic 52]

                [pic 53]

        Lado recto: [pic 54]

        Excentricidad:   [pic 55][pic 56]

        Eje mayor: [pic 57]

        Eje menor: [pic 58]

Clase 15-16

Ejercisio 3

Enunciado

1. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos  y  y cuyos ejes son paralelos a las coordenadas, graficar.[pic 59][pic 60]

Gráfica

[pic 61]

Desarrollo

        Usamos la ecuación general

        [pic 62]

Reemplazamos los puntos dados en la ecuación y obtenemos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas

Utilizamos para el valor  [pic 63]

[pic 64]

        Resolvemos el sistema

[pic 65]

[pic 66]

                  [pic 67][pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

 [pic 71][pic 72]

                [pic 73]

        [pic 74]

 [pic 75][pic 76]

Armamos un nuevo sistema con las ecuaciones  obtenidas[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

  [pic 81][pic 82][pic 83]

[pic 84]

  [pic 85][pic 86]

        Armamos un nuevo sistema con las ecuaciones [pic 87]

        [pic 88]

           [pic 89][pic 90][pic 91]

          [pic 92][pic 93][pic 94]

        Determinamos el resto de  valores

        E

                [pic 95]

        D

        [pic 96]

        F

        [pic 97]

        [pic 98]

        Ecuación

        [pic 99]

        [pic 100]

        Ecuación ordinaria

        [pic 101]

        [pic 102]

        Determinación de b                  Determinación de c

                                        [pic 103][pic 104]

                                                [pic 105][pic 106]

...