Notas clase de matemática

Notas clase de matemática

Curso de Microeconomía

                                                Sede Paternal: 21 a 23Hs                                                                 Martes y Viernes

Funciones

En matemática, se le llama función a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. En este sentido, se puede identificar un conjunto de partida, llamado dominio, y un conjunto de llegada. A cada elemento del dominio se le debe asignar un único elemento del conjunto de llegada, y a este elemento del conjunto de llegada se lo denomina imagen.

Para comprender mejor el significado de una función propondremos el siguiente ejemplo. Supongamos que queremos cocinar una torta: vamos a nuestra alacena, comenzamos a investigar los ingredientes que tenemos disponibles y pensamos en combinaciones posibles de ingredientes para hacer nuestra torta. Cada combinación de ingredientes, luego de hornear un rato, resultará en una torta con un determinado sabor. En este caso, la combinación de ingredientes sería equivalente a un elemento del dominio, el horno haría de función (aquella regla, o transformación que solo asigna un sabor a cada elemento del dominio) y el sabor sería la imagen de la combinación de ingredientes elegida. Es fácil notar que una misma combinación de ingredientes solo puede arrojar un determinado sabor, y que para obtener otro sabor necesitaremos elegir otra combinación de ingredientes. Es importante aclarar, no obstante, que dos combinaciones distintas de ingredientes podrían arrojar de casualidad el mismo sabor. Esto último no está prohibido en las funciones.

A modo de ejemplo, pensemos en la función

[pic 1]

Si , y la función consta de elevar  al cuadrado, entonces obtenemos un valor de .[pic 2][pic 3][pic 4]

Sin embargo, si eligiéramos , también obtendríamos:  Este sería precisamente un caso en el cual dos combinaciones de ingredientes distintos arrojan como resultado el mismo sabor, después de ser horneados. [pic 5][pic 6]

Algunas funciones que utilizaremos a lo largo del curso son:

- Función lineal:        [pic 7]

- Función cuadrática:         [pic 8]

- Función logarítmica:         [pic 9]

- Función cobb-douglas:         [pic 10]

Derivadas

Cuando uno quiere saber el significado de un término, es intuición natural en los tiempos que corren entrar a Wikipedia. En este sentido, Wiki nos dice que la derivada de una función “mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.”

Formalmente la derivada de una función es:

[pic 11]

Donde  es el incremento marginal que se le hace a la función.[pic 12]

Probablemente resulte bastante anti intuitivo esta definición por lo que nos dedicaremos unas líneas a tratar de deglutir el párrafo anterior que parece escrito en algún idioma que no comprendemos.

Las funciones matemáticas, como hemos visto, se encargan de transformar cierto valor de “ingreso” (variable independiente) en un valor de “salida” (variable dependiente). Sin embargo, no todas las funciones son iguales. Como también se ha mencionado, las funciones lineales por ejemplo, tienen una pendiente que se identifica fácilmente por ser la constante que está multiplicando a la variable independiente. Está pendiente de la función no hace otra cosa que marcar la proporción en que varía el valor de la función  ante una variación de la variable independiente . En el caso de las funciones lineales, la pendiente de la función es una constante, y en consecuencia, el valor de la función  varía siempre en la misma proporción ante cualquier cambio de . [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Esta situación se ve modificada cuando las funciones dejan de ser lineales. Supongamos la siguiente función:

[pic 17]

 Gráficamente, esta función se vería de la siguiente manera:

[pic 18]

Es fácil notar en este gráfico que la función no tiene una pendiente constante, puesto que cuando  toma valores negativos, la pendiente es decreciente, mientras que cuando  toma valores positivos la pendiente es creciente. [pic 19][pic 20]

Ahora bien, si lo que nos interesa es ver como varía el valor de la función ante una pequeña modificación de la variable independiente, entonces ante un escenario como el de la función  ,  tendremos que especificar para qué valor de  nos interesa saber esto. [pic 21][pic 22]

La derivada será entonces quien nos solucionará el problema. Esencialmente, la derivada de una función  arrojará una nueva función  que permite aproximar la pendiente de la función  ( en este caso), en cada punto. [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Por ejemplo, en el caso que venimos utilizando, la derivada de la función es:        

[pic 27]

Donde como se puede observar, la derivada toma valores negativos cuando  es negativo y toma valores positivos cuando  es positivo. Esto  no hace más que formalizar lo que ya habíamos mencionado. En el ejemplo utilizado, la pendiente de la función es negativa cuando  es negativa y positiva cuando  es positiva.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Continuando con el ejemplo, supongamos que queremos saber la pendiente de la función    en el punto donde  . En este caso, lo único que debemos hacer es ir a nuestra función derivada y reemplazar  por (-1). En este caso, la pendiente de la función vale (-2) en el punto donde . [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Gráficamente, lo que estamos haciendo es equivalente a calcular la pendiente de una recta que es tangente a la función en ese punto:

                                                                                                                         [pic 37][pic 36]

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