Una sucesión es un conjunto ordenado

SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto ordenado

f(1), f(2), f(3), …, f(n), …

formado a partir de una función f cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

A f(n) se le conoce como el término enésimo de la sucesión.

En forma abreviada se representa con {f(n)} la sucesión f(1), f(2), f(3), …, f(n), …

En ocasiones el término enésimo de una sucesión se representa con an, sn, xn en vez de f(n).

Cabe hacer notar que no se excluye la posibilidad de que los términos de una sucesión sean números complejos.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Una sucesión tiene límite L si a medida que n crece, f(n) se acerca cada vez más al valor L.

Lo anterior puede definirse formalmente como sigue:

Una sucesión {f(n)} tiene límite L si para todo número real  existe un número M tal que [pic 1][pic 2]

|f(n) - L| ξ     [pic 3][pic 4]

Lo anterior se representa con    [pic 5]

Es importante hacer notar que si una sucesión tiene límite L es posible que sus términos nunca lleguen a tomar el valor L aunque se aproximen cada vez más a dicho valor a medida que n crece.

Cuando una sucesión tiene límite se dice que es convergente y que converge a L; en caso contrario se dice que es divergente.

Para calcular el límite de una sucesión se puede hacer uso de los siguientes teoremas:

1.  [pic 6]
2.  [pic 7]

Si {f(n)} y {g(n)} son dos sucesiones convergentes, entonces:

1.  [pic 8]
2.  [pic 9]
3.       si [pic 10][pic 11]

SUCESIONES MONÓTONAS

Sea {f(n)} una sucesión tal que     f(n)  R      n  N[pic 12][pic 13][pic 14]

1.  {f(n)} es no decreciente si   f(n+1)  f(n)    n  N[pic 15][pic 16][pic 17]
2.  {f(n)} es no creciente si     f(n+1)  f(n)      n  N[pic 18][pic 19][pic 20]
3.  {f(n)} es monótona si es no decreciente o es no creciente.

COTAS SUPERIOR E INFERIOR DE UNA SUCESIÓN. SUCESIÓN ACOTADA

Sea {f(n)} una sucesión tal que     f(n)  R      n  N[pic 21][pic 22][pic 23]

1.  El número p  R es una cota superior de {f(n)} si[pic 24]

 f(n)  p     n  N[pic 25][pic 26][pic 27]

1.  El número q  R es una cota inferior de {f(n)} si[pic 28]

 f(n)  q     n  N[pic 29][pic 30][pic 31]

1.  {f(n)} es una sucesión acotada si tiene una cota superior y una cota inferior.

En general las dos condiciones anteriores garantizan la existencia del límite de una sucesión, como se enuncia en el siguiente teorema:

“Toda sucesión monótona y acotada tiene límite”.

SERIES

Una serie puede ser considerada como la suma de un número infinito de términos. Es una expresión de la forma    a1 + a2 + a3 + … + an + …    que de manera compacta se representa con     [pic 32]

SERIES CONVERGENTES Y SERIES DIVERGENTES

Sea     una serie y sea {sn} una sucesión definida por     sn = [pic 33][pic 34]

1.  Si existe un número S tal que      se dice que la serie es convergente y tiene suma S, lo cual se denota mediante   [pic 35][pic 36]
2.  Si por el contrario no existe dicho límite, se dice que la serie es divergente y no tiene suma.

A {sn} se le conoce como sucesión de sumas parciales de la serie.

Cabe hacer notar que la suma de una serie convergente es el límite de una sucesión.

En el caso de series convergentes el símbolo  representa tanto a la serie como a la suma.[pic 37]

CONDICIÓN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA

Si la serie  es convergente, entonces el [pic 38][pic 39]

Nota.- Es condición necesaria pero no suficiente.        

CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA DIVERGENCIA

Si    ,   entonces la serie        es divergente.[pic 40][pic 41]

CANCELACIÓN Y ADICIÓN DE TÉRMINOS EN UNA SERIE

El carácter convergente y divergente de una serie no cambia si se suprime o agrega un número finito de términos al principio de ésta.

Sea     = a1 + a2 + a3 + … + an + …    una serie convergente con suma S.[pic 42]

1.  Si    ,    entonces la serie
    = am+1 + am+2 + am+3 + … + am+n + …   tiene suma   S – A.[pic 43][pic 44]
2.  Si     ,     entonces la serie[pic 45]

 +  = b1 + b2 + b3 + … + bm + a1 + a2 + a3 + … + an-m + …     tiene suma S + B. [pic 46][pic 47]

ASOCIACIÓN DE TÉRMINOS EN UNA SERIE

Una propiedad de las “sumas finitas” es la asociatividad. Cuando se insertan paréntesis en una serie convergente con suma S, se obtiene otra serie convergente cuya suma es S.

Si al insertar paréntesis en una serie  cuyo carácter se desconoce se obtiene una serie  que es divergente, entonces la serie  es divergente.[pic 48][pic 49][pic 50]

IGUALDAD DE SERIES

Dos series son iguales si tienen los mismos términos expresados en el mismo orden. Simbólicamente:

Sean  y  dos series.  =  si     an = bn      n N[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

ADICIÓN DE SERIES

La suma de las series  y  es una serie cuyo término enésimo es an + bn. Simbólicamente:[pic 57][pic 58]

Sean  y  dos series. La suma[pic 59][pic 60]

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