Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias

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• Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son procedimientos utilizados para encontrar aproximaciones numericas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Su uso también se conoce como integración numérica, aunque este término a veces se toma para significar el cálculo de una integración.

Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse usando funciones típicas ("análisis"). Sin embargo, a efectos prácticos, como en ingeniería, una aproximación numérica a la solución suele ser suficiente. Los algoritmos estudiados aquí pueden usarse para calcular tal aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas de cálculo infinitesimal para obtener una expansión en serie de la solución.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se presentan en muchas disciplinas científicas, por ejemplo, en física, química, biología y economía. Además, algunos métodos en ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten una ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que luego debe resolverse.

•  Método de Euler

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial

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Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a  la curva [pic 7] está dada por [pic 8] y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante

[pic 9]siempre y cuando [pic 10] sea pequeño. De aquí obtenemos que

 [pic 11]Con lo cual podemos usar el punto [pic 12] para construir el siguiente punto [pic 13] y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:

[pic 14]los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los[pic 15] puntos.

• Método de Taylor

El método de Taylor es uno de los algoritmos más antiguos para aproximar la solución de un problema de valor inicial en una ecuación diferencial ordinaria. En muchos libros de cálculo  numérico aparece como una de las primeras opciones para integrar numéricamente las soluciones, pero es inmediatamente descartado alegando las dificultades en su implementación: el cálculo de las derivadas de la ecuación diferencial y el coste de su evaluación posterior. Sin embargo, hay alternativas al cálculo clásico de derivadas. Nos centraremos en la llamada diferenciación automática, que no calcula una expresión para las derivadas sino que da un algoritmo para su evaluación.

En la charla discutiremos las posibilidades de este método para la integración efectiva de ecuaciones diferenciales. Veremos que, combinado con la diferenciación automática, el método de Taylor se convierte en un método muy eficiente y preciso que puede competir con los métodos clásicos (de un paso) de integración. En particular, parece ser la mejor opción cuando se requiere un alto grado de precisión. Finalmente, presentaremos un programa de dominio público que genera automáticamente el integrador de Taylor (incluyendo rutinas de control de orden y paso) para una ecuación dada.

•  Métodos de Runge-Kutta

Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.

El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita:

  [pic 16]  o en forma explicita[pic 17]

Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos convencionales (como separación de variables). Hay variaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden pero el más utilizado es el método en el cual se elige un tamaño de paso h y un número máximo de iteraciones n.

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