Números Reales

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NÚMEROS REALES

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. Podemos representarlos en la recta real entre menos infinito y más infinito.

Clasificación de los números reales:

1. Números naturales: Los números naturales se expresan mediante la letra “N” manuscrita. En el caso de los números naturales, se trata de los números que utilizamos para contar. Son los siguientes:

• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Dentro de los números naturales podemos distinguir varios tipos:

• Números Primos: son números naturales que solamente pueden dividirse por sí mismos. Son los siguientes:

• 2, 3, 4, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 27...

• Números Compuestos: son el resto de números no primos, es decir que pueden dividirse por uno o varios números naturales distintos a él mismo y seguir siendo un número natural. Son los siguientes:

• 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26...

• Números Pares: Los números pares se pueden dividir exactamente en grupos de dos. Son los siguientes:

• 2, 4, 6, 8, 10, 12...

• Números Impares: Los números impares NO se pueden dividir exactamente en grupos de dos. Son los siguientes:

• 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...

• Números Perfectos: son números naturales cuyo valor es igual a la suma de sus divisores. Algunos ejemplos:

• 6= 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

1. Números enteros: Se representan mediante la “Z”. Se trata de aquellos números escritos sin fracción, es decir, “de forma entera”. Pueden ser positivos o negativos como los siguientes:

• 5, 8, -56, -90…

Estos se clasifican en:

• Enteros positivos: Se considera un número positivo al no tener signo o representar con el signo “+” delante de los números:

∙        +1 , +4, +8, +10, etc.

• El cero "0": Se considera un número neutro, no es positivo ni negativo.
• Enteros negativos: Todo número negativo se debe representar con el signo “-“. Como los siguientes:

• -1 , -2, -3 , -4 , etc.

1. Números racionales: Se expresa mediante una “Q” (mayúscula). Los números racionales son cualquier número que se pueda expresar como el componente de dos números enteros, o como su fracción. Estos son:

• 7/9 , 8/4 , 5/3 , 6/2 , etc.

Estos se clasifican en:

• Decimales exactos: Un número decimal exacto es aquel que tiene un número limitado de cifras decimales. Como, por ejemplo:

• 3,45 / 8,36 / 9,33 / 8,89 …

• Decimales periódicos puros: Un número decimal periódico es aquel que tiene infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente tanto positivas como negativas. Por ejemplo:

• 5,161616… (ya que el 16 se repite de forma indefinida).
• 9,121212…
• 21.33333…

• Decimales periódicos mixtos: como, por ejemplo:

• 6,788888… (el 8 se repite de forma indefinida).
• 5,3333333…

• Decimal no exacto ni periódico: Los decimales no exactos ni periódicos tienen infinitas cifras que no se repiten periódicamente. Como:

• 14,3654
• 3,6812

1. Números irracionales: Los números irracionales se representan como: “R-Q”, que significa: “el conjunto de los reales menos el conjunto de los racionales". Este tipo de números son todos aquellos números reales que no son racionales. Así, estos no se pueden expresar como fracciones. Se trata de números que tienen infinitos decimales, y que no son periódicos.

• √7 = 2,64575131106
• 3√13 = 351334688[pic 4]

Se clasifican en:

• Números algebraicos: Son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados.

En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Como:

• 10√12
• 2√27

• Números trascendentes: no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

• El número Pi (π) (número de Arquímedes) y (e) (número de Euler) son irracionales trascendentes.

LEYES DE LOS EXPONENTES (ENTEROS Y FRACCIONARIOS) Y RADICALES

1. LEYES DE LOS EXPONENTES

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

Las leyes de los exponentes son el conjunto de reglas establecidas para resolver las operaciones matemáticas con potencias.

La potencia o potenciación consiste en la multiplicación de un número por sí mismo varias veces, y se representan gráficamente de la siguiente manera: xy.

El número que se ha de multiplicar por sí mismo es llamado base y el número de veces por el que se ha de multiplicar es llamado exponente, el cual es más pequeño y debe situarse a la derecha y arriba de la base. Por ejemplo:

• 52
• 37

Ahora bien, en operaciones de suma, resta, multiplicación y división con una o varias potencias, ¿cómo proceder? Las leyes de los exponentes nos guían para resolver estas operaciones de la manera más simple posible. Veamos.

• Potencia cero: Todo número elevado a la 0 es igual a 1. Por ejemplo:

• 𝑥0 = 1
• 350 = 1

• Potencia a la 1: Todo número elevado a 1 es igual a sí mismo. Por ejemplo:

• 𝑥1= x
• 301 = 30

• Multiplicación de potencias con la misma base: El producto de potencias con base idéntica es igual a una potencia de igual base, elevada a la suma de los exponentes. Por ejemplo:

• 34 ∙ 32 ∙ 34 = 3(4+2+4) = 310
• 24 · 22 · 24 = 2(4 + 2 + 4) = 210

• División de potencias con la misma base: Cuando se dividen potencias con la misma base y exponentes diferentes, el cociente es igual a otra potencia con la misma base elevada a la suma de los exponentes. Por ejemplo:

• 44 : 42 = 4(4 - 2) = 42
• 2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = ½

• Multiplicación de potencias con el mismo exponente: El producto de dos o más potencias diferentes con igual exponente es igual al producto de las bases elevado al mismo exponente. Por ejemplo:

• 32 · 22 · 32 = (3 · 2 · 3)2 = 182
• 33 · 34 · 3 = 38

• División de potencias con el mismo exponente: El cociente entre dos potencias con base diferentes e igual exponente resulta en el cociente de las bases elevado al mismo exponente. Por ejemplo:

• 82 : 22 = (8 : 2)2 = 42
• 366 : 46 = (36: 4)6 = 92

• Potencia de una potencia: La potencia de una potencia resulta en otra potencia con la misma base elevada al producto de los exponentes. Por ejemplo:

• ( 2³ )² = 2⁶ = 64
• (83)3 = 8(3 · 3) = 89

1. EXPONENTES FRACCIONARIOS

Si n ≠ 0 , se define:

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De este modo, una base elevada a un exponente fraccionario en el que el numerador es 1, es equivalente a una expresión en notación radical, en la que la base es el radicando y el denominador del exponente es el índice. Ejemplos:

∙[pic 6][pic 7]

∙

Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son también válidas para exponentes fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para elevar una potencia a otra potencia, se tiene:

...