Apunte de Análisis Matemático
Enviado por SeriesAs - • 6 de Septiembre de 2024 • Apuntes • 15.080 Palabras (61 Páginas) • 29 Visitas
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Unidad I: Números Reales y Funciones
Conjunto de números reales (): El conjunto de los números reales está formado por los números racionales y los irracionales . Es decir: .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
Valor absoluto de un número real: Definición:
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Propiedades:[pic 8]
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Intervalos: Siendo [pic 18]
Intervalo Cerrado: [pic 20][pic 19]
Intervalo Abierto: [pic 22][pic 21]
Intervalo Semiabierto a derecha: [pic 24][pic 23]
Intervalo Semiabierto a izquierda: [pic 25]
Intervalos con los símbolos y :[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 26][pic 27]
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Amplitud de un intervalo: Se define como la diferencia entre el extremo superior y el extremo inferior.
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Cotas:
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Extremo Superior o Supremo: Es la menor de las Cotas Superiores.
Extremo Inferior o Ínfimo: Es la mayor de las Cotas Inferiores.
Elemento Máximo: Es el Supremo, si pertenece al Conjunto.
Elemento Mínimo: Es el Ínfimo, si pertenece al Conjunto.
Entorno: Un entorno es un caso especial de intervalo abierto que posee un centro y un radio . Es decir:[pic 38][pic 39]
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Gráficamente:[pic 41]
Entorno Reducido: Es un entorno en el cual se excluye el centro. Es decir:
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Gráficamente:[pic 43]
Punto Interior: Si es un conjunto de puntos de la recta real, un punto es punto interior al mismo si y solo si existe un entorno de totalmente incluido en .[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]
es un Punto Interior de [pic 48][pic 49]
Punto de Acumulación: Si es un conjunto de puntos de la recta real, un punto es punto de acumulación de si a todo entorno reducido de pertenece por lo menos un punto de .[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
es Punto de Acumulación de [pic 55][pic 56]
O bien: [pic 57]
Función: Definición:
es una función de en sí y sólo si es un subconjunto de que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
Existencia: [pic 62]
Unicidad: [pic 63]
Analíticamente:
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Gráficamente:
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Características:
- Elementos distintos del dominio pueden tener la misma imagen.
- Existen elementos en el rango que no son imagen de ningún elemento.
Clasificación de funciones:
Función Inyectiva: Una función es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas.[pic 66]
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Función Sobreyectiva: Una función es sobreyectiva cuando el conjunto imagen coincide con el rango. Es decir, todo elemento del rango es imagen, por lo menos, de un elemento del dominio.[pic 68]
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Función Biyectiva: Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.[pic 70]
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Composición de funciones: Definición:
Dadas dos funciones y , se llama función compuesta a la función definida por y existe siempre que .[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]
La condición es necesaria y suficiente para definir .[pic 77][pic 78]
Gráficamente:
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Función Inversa: Se llama función inversa de una función biyectiva a a la función[pic 80]
si y solo si .[pic 81][pic 82]
Teorema: La función admite función inversa si y solo si es biyectiva.[pic 83]
Funciones pare e impares:
Función par: Una función es par sí y sólo si [pic 84][pic 85]
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de ordenadas.[pic 86]
Función impar: Una función es impar si y solo si [pic 87][pic 88]
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.[pic 89]
Funciones monótonas:[pic 90]
- es estrictamente creciente [pic 91][pic 92]
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- es creciente [pic 104][pic 105]
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- es estrictamente decreciente [pic 115][pic 116]
- es estrictamente decreciente [pic 117][pic 118]
Función periódica:
Una función es periódica, de periodo ,si se verifica: [pic 119][pic 120][pic 121][pic 122]
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Clasificación de funciones:
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Funciones algebraicas:
Función racional entera o polinómica: La Función Polinómica es toda expresión de la forma:
, donde es diferente de cero. son números reales y se denominan coeficientes de la función, es el coeficiente principal, es el coeficiente del término independiente; es el grado de la función.[pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139]
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