3.- ESTABILIDAD

3.- ESTABILIDAD

En la mayoría de los sistemas de control se utiliza el tiempo como variable independiente, para lo cual entonces resulta interesante evaluar la respuesta temporal de los sistemas (recordando que en el análisis de los sistemas de control la respuesta temporal, se dividen en dos partes la respuesta, transitoria Ct(t) y la de régimen permanente o en estado estacionario Css(t)).

Por lo tanto, entonces la salida total es la suma de las dos salidas:

C(t) = Ct(t) + Css(t)

Y donde la respuesta transitoria se da desde que se aplica la excitación o entrada hasta un tiempo definido como de estabilización, y a partir de este tiempo y hasta que el tiempo tiende a infinito se denomina régimen permanente.

Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón

Normalmente, para el estudio del comportamiento transitorio de un sistema de control se utiliza una entrada en escalón unitario como se muestra en la figura anterior. La parte transitoria de la respuesta temporal es la que tiende a cero a medida que tiempo aumenta. Naturalmente, que ésta tiene un significado, y esto es únicamente cuando el sistema es estable ya que para uno inestable no se reduce y queda fuera de control.

La respuesta transitoria de un sistema lineal está determinada y gobernada por la posición de las raíces de la ecuación característica. Por lo que un sistema de control realimentado se puede considerar como un problema de disposición de las raíces de la ecuación característica de tal forma que el sistema correspondiente funcione de acuerdo con las especificaciones prescritas.

La estabilidad para su estudio requiere de varios conceptos y herramientas de trabajo, para lo cual primero se realizará una revisión de éstos y luego adentrarnos en el estudio de la estabilidad de los sistemas.

CONCEPTOS BÁSICOS Y HERRAMIENTAS.

Función de Transferencia

La función de transferencia se define como la relación de la transformada de Laplace de la salida con respecto a la transformada de Laplace de la entrada

(1)

con

La Ec. (1) también se puede escribir de la siguiente forma:

(2)

donde: Zi con i= 1,2,...m raíces del numerador (ceros) O

Pj con j=1,2,...n raíces del denominador (polos) X

Lo cual nos permite al conocer las raíces del numerador y el denominador de la función de transferencia obtener el patrón de polos y ceros.

Patrón de polos y ceros

Es la representación gráfica de las raíces de la función de transferencia (raíces del numerador y del denominador que se obtienen de la misma) en el plano complejo S.

Patrón de Polos y Ceros (Plano complejo S)

• Donde los ceros son las raíces del polinomio del numerador de la función de transferencia. O

• Y los polos son las raíces del polinomio del denominador de la función de transferencia que también se les denomina raíces características. X

La estabilidad de un sistema lineal de lazo cerrado, se puede determinar por la ubicación de los polos de la función de transferencia en el plano complejo S. Al transcurrir el tiempo dan lugar al modo dominante de éstos (polos) y la respuesta transitoria aumenta en forma monótona u oscila con amplitud creciente. Esto representa un sistema inestable, por lo que no se admiten polos en el semiplano derecho (SPD) del plano complejo S . Si todos los polos quedan a la izquierda del eje jw o imaginario (semiplano izquierdo SPI) cualquier respuesta transitoria alcanza el equilibrio con respecto a la entrada; esto representa un sistema estable.

Que un sistema sea estable o inestable es una propiedad del sistema en sí mismo (configuración física del sistema), y no depende de la entrada o función excitadora. Los polos de la entrada, no afectan la propiedad de estabilidad del sistema y solamente contribuyen a los términos de respuesta en estado estacionario de la solución.

Concepto de Estabilidad

Básicamente, el diseño de sistemas de control con realimentación puede considerarse como un problema de disposición de las raíces características (raíces del denominador de la función de transferencia) de la ecuación característica, de manera que el sistema correspondiente funcione de acuerdo con los parámetros predeterminados.

El requerimiento más importante es que el sistema debe ser estable en cualquier instante. Sin embargo existen varias formas de definir la estabilidad, especialmente cuando incluimos todo tipo de sistemas (lineales o no lineales.

En cualquier caso, el concepto de estabilidad se emplea para distinguir dos clases de sistemas: útiles e inútiles. Viéndolo desde un aspecto práctico, un sistema estable puede ser útil (funciona para lo que fue construido), mientas que uno inestable no (funciona fuera del rango establecido). En esencia, el análisis y diseño de sistemas de control se centra en el estudio de la estabilidad, debido a que es una característica primordial y muy importante del funcionamiento (respuesta transitoria) transitorio de un sistema de control realimentado.

Un sistema estable se define como aquel que tiene una respuesta limitada. Esto es, se dice que el sistema es estable si estando sujeto a una entrada o perturbación limitada, su respuesta es de magnitud limitada, es decir funciona el sistema dentro del rango en el que fue considerado. Esta definición puede ser considerada la más general; sin embargo también existen las definiciones de estabilidad asintótica, estabilidad en respuesta de impulso, estabilidad en el sentido de Liaponov, estabilidad absoluta y estabilidad relativa.

En la práctica se selecciona la definición de estabilidad más apropiada al problema en cuestión. Sin embargo, todas las definiciones están en concordancia de que: "Para que un sistema sea estable es necesario y suficiente que todas las raíces del polinomio característico (denominador de la función de transferencia T(s)) estén ubicadas en el semiplano izquierdo del plano complejo S".

El Plano complejo S y la zona de estabilidad de un sistema

Métodos para determinar la estabilidad de los sistemas de control

En

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