Cuales son los nuevo Espacios Vectoriales

[pic 1]Instituto Tecnológico De Ciudad Guzmán

Algebra Lineal

Unidad IV.- Investigación

Espacios Vectoriales

Marisol Arias Lugo

No. Control: 14290419

Aula: K-6

Hora: 7:00-9:00

Grupo: “C”

Semestre: 3

Ingeniería en Gestión Empresarial

Lugar: Ciudad guzmán

Fecha: 30/11/15

        Definición de espacio vectorial

Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3  al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

Axiomas de un espacio vectorial.  

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y a es un escalar, entonces a(x+y)=ax +ay

8-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces(a+b)x= ax+by.

9-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10-   Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

Ejemplo:

Sea [pic 2] un conjunto no vacío. El conjunto [pic 3] de todas las funciones de [pic 4] en [pic 5] es un espacio vectorial real bajo las siguientes operaciones:

[pic 6]

Si [pic 7] entonces se obtiene el espacio de todas las funciones de variable real a valor real. Si [pic 8] es un intervalo abierto, por ejemplo [pic 9] o [pic 10], y [pic 11] es el conjunto de funciones continuas de [pic 12] en [pic 13] , entonces [pic 14] es un espacio vectorial real. Si [pic 15] es el conjunto de números naturales, entonces resulta el espacio de las sucesiones reales.

Solución:

La idea es revisar todas las propiedades (axiomas) que definen un espacio vectorial. En primer lugar, nótese que en el ejemplo en cuestión, el cuerpo de escalares son los números reales, es decir, no necesitamos demostrar que [pic 16] sea efectivamente un cuerpo. Esto lo damos por conocido. Más bien, debemos establecer que el conjunto de vectores [pic 17] es un grupo abeliano y que la acción de los escalares reales por estos vectores satisfacen las propiedades de la definición de la Lección 2.

La primera observación que debemos hacer es que la suma de dos elementos de [pic 18] es nuevamente una función de [pic 19] : esto es claro a partir de la definición de suma: [pic 20] actuando en[pic 21] es [pic 22], en otras palabras, la operación de suma en [pic 23] es interna.

En segundo lugar, esta operación es asociativa en el sentido que [pic 24], donde [pic 25]: en efecto, esto se debe a que la suma de reales es una operación asociativa:[pic 26]

[pic 27], en esta última igualdad hemos aplicado la propiedad asociativa de la suma de números reales. Se concluye entonces que[pic 28], es decir, [pic 29].

La suma definida tiene elemento neutro, es decir, vector nulo: en efecto, la función [pic 30] definida por [pic 31] para cada [pic 32] es tal que [pic 33] para cada [pic 34].

Cada elemento [pic 35] tiene su inverso respecto de esta suma, es decir, su función opuesta: esta función opuesta se denota por [pic 36] y es definida por [pic 37], para cada [pic 38]. Nótese que [pic 39].

La suma definida es claramente conmutativa.

Hemos pues probado que [pic 40] es ciertamente un grupo abeliano.

Ahora debemos verificar el cumplimiento de las propiedades relativas al producto de escalar por vector: la operación [pic 41] está bien definida, es decir, es una operación externa y cumple las siguientes propiedades:

...