De búsqueda sobre el álgebra

UNIDAD I. ÁLGEBRA

1.1 POLINOMIOS.

Polinomio. Es una expresión de la forma:

f(x) = a0 + a1x + .... + anxn

donde a0, a1,..., an son números reales. A estos números se les llama coeficientes del polinomio. Al símbolo x se le llama indeterminada. A a0, a1x,..., anxn, se les llama términos del polinomio.

Se puede obtener un valor para f(x), poniendo un número, digamos a en lugar de la indeterminada x:

f(a) = a0 + a1a + .... + anan.

Ejemplo:

Sea

f(x) = 1 + x + x2

entonces

1.2 FACTORIZACIÓN.

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores, cuyo producto sea igual a la expresión propuesta.

Existen varias maneras de factorizar, algunas de ellas se presentan a continuación.

Factor común:

y4+5y2+4y = y(y3 + 5y + 4)

Trinomio cuadrado perfecto:

y2 + 2y + 1 = ( y + 1 )2

Trinomio de la forma ax 2+ bx + c:

3y2 – 14y – 5 = (3y+1) (y – 5)

Diferencia de cuadrados:

x2– y2= (x – y)(x + y)

1.3 ECUACIONES.

Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

6a + 3a + a = 2a + 32

8a = 32

a = 4

Solución de una ecuación de segundo grado con una incógnita.

Para encontrar la solución de la ecuación de la forma ax2 + bx + c podemos utilizar la fórmula general:

También se puede obtener factorizando, si es posible.

Solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Existen varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Consideremos el siguiente sistema, a manera de ejemplo:

Método de suma y resta:

1) Multipliquemos cada ecuación por constantes de modo que los coeficientes de la variable a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos.

2) Sumemos ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuación en términos solamente de la otra variable.

3) Resolvamos y sustituyamos en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable.

En nuestro ejemplo, eliminemos la variable x:

Multiplicando por 5 la ecuación (I) obtenemos

15x – 10y = 60 III)

Multiplicando por -3 la ecuación (II) obtenemos:

–15x – 18y = 24 IV)

Sumando las ecuaciones III) y IV) obtenemos:

– 28y = 84, de donde vemos que y = –3.

Sustituyendo el valor de y en I) obtenemos:

3x – 2(–3) = 12

3x + 6 = 12

3x = 6

y así llegamos a que x = 2.

Método de sustitución:

1) Despejamos alguna de las variables en cualquiera de las ecuaciones.

2) Sustituimos en la otra.

3) Resolvemos la ecuación resultante de una sola variable.

4) Sustituimos el valor obtenido en la ecuación de despeje.

En el ejemplo, despejemos x de I)

III)

Sustituimos x en II)

.

Resolviendo esta ecuación tenemos que

y = –3.

Sustituimos el valor de y en la ecuación III).

de aquí obtenemos que x = 2.

Así la solución del sistema de ecuaciones es (2, –3).

Método de igualación:

1) Se despeja alguna de las variables en las dos ecuaciones.

2) Se igualan y resolvemos la ecuación resultante.

3) Elegimos alguna de las dos ecuaciones de despeje y sustituimos el valor obtenido.

En el ejemplo:

Despejando x en las dos ecuaciones obtenemos:

III) IV)

Igualando las x tenemos la siguiente ecuación de depende solamente de la variable y.

.

Resolviendo obtenemos

y = –3.

Sustituyendo el valor de y en III)

Obtenemos

x = 2.

Método gráfico

1) Graficamos ambas ecuaciones en el plano cartesiano.

2) Hallamos el punto de intersección de las rectas.

3) La abscisa de dicho punto será la solución de la variable x, y la ordenada será la de la variable y.

Método de determinantes

Consideremos el ejemplo:

Los valores de x y y están dados por

donde

por lo tanto

.

1.4. RAZONES Y PROPORCIONES.

Razón o relación. Llámese razón o relación de dos cantidades al cociente de dividir una cantidad por la otra, expresadas en las mismas unidades.

La razón de a a b se escribe a:b, o bien ; a y b son llamados los términos de la razón.

Proporción. Llámese proporción a la igualdad de dos razones. Llámense términos de una proporción las cuatro cantidades que entran en ella. El primer y tercer términos se llaman antecedentes; el segundo y el cuarto, consecuentes. El primero y el cuarto se llaman extremos; el segundo y el tercero, medios.

Términos: a, b, c, d.

Antecedentes: a, c.

Consecuentes: b, d.

Extremos: a, d.

Medios: b, c.

Cuarta proporcional.- Se llama cuarta proporcional de tres cantidades dadas a la cantidad que forma el cuarto término

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