Ecuaciones

Determine la ecuación de la línea de campo para cada uno de los campos vectoriales dados a continuación, en el punto correspondiente:

□(F ⃗ )=x(μ_x ) ⃗-x/2 (μ_y ) ⃗+2z(μ_z ) ⃗; P(1,-2,3)

(d(μ_1 ) ⃗)/F_1 =(d(μ_2 ) ⃗)/F_2 =(d(μ_3 ) ⃗)/F_3

d_x/x= 〖-2d〗_y/x= d_z/2z

* d_x/x= 〖-2d〗_y/x si X=0

∫▒d_x = ∫▒〖-2d〗_y

x= -2y+c

* d_x/x= d_z/2z

∫▒d_x/x= ∫▒d_z/2z

ln⁡(x)= 1/2 ln⁡(z)+c

x= 〖cz〗^(1/2)

Parametrización

x=t

y= (c_1-x)/2

z= x^2/c_2

Con P(1, -2, 3)

y= (c_(1 )-x)/2 → -2= (c_1-1)/2

c_1= -3

z= x^2/c_2 → 3= 1/c_2

c_2= 1/3

asi:

x=t

y= (-3-x)/2

z= 〖3x〗^2

F ⃗=z□((μ_ρ ) ⃗ )-ρ□((μ_z ) ⃗ ); P(1,π,1)

d_ρ/z= (-d_z)/ρ

ρd_ρ= -zd_z

∫▒〖ρd_ρ 〗= -∫▒〖zd_z 〗

ρ^2/2= -z^2/2+c

ρ^2= -z^2+c

ρ^2+ z^2=c

Con P(1, π,1 )

1+1=c

c=2

□(F ⃗ )= (2 cos⁡θ)/r^3 □((μ_r ) ⃗ )+ sin⁡θ/r^3 □((μ_θ ) ⃗ ); P(1,π⁄4,π⁄2)

d_r/((2 cos⁡〖(θ)〗)/r^3 )= d_θ/((sen(θ))/r^3 )

(d_r r^3)/r^3 = (d_(θ ) r^3)/(sen(θ))

d_r/r= 2cot⁡(θ)d_θ

∫▒d_r/r= 2∫▒〖cot⁡(θd_θ)〗

ln⁡(r)=2ln⁡|sen(θ) |+c

Con P(1,π⁄4,π⁄2)

ln⁡(r)=2ln⁡|sen(π⁄4) |+c

r=c〖sen〗^2 (θ)

1=c 1/2

c=2

Calcule la longitud del arco de curva en el intervalo dado.

x=t;y=sin⁡(t);z=cos⁡(t) ∶0≤t≤π

dL= √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2 dt)

dL=√((1)^2+(cos⁡(t))^2+(-sen(t))^2 ) dt

dL= √2 d_t

L=∫_0^π▒√2 dt

L=√2 π ≈4.429

ρ=2; φ=t; z=2t∶ 0≤t≤π

dL= √((dρ/dt)^2+(ρ dφ/dt)^2+(dz/dt)^2 ) dt

L= ∫_0^π▒〖√((0)^2+(ρ)^2+(2)^2 ) dt〗

Como ρ = 2

L= ∫_0^π▒〖√((0)^2+(2*1)^2+(2)^2 ) dt〗

L= ∫_0^π▒〖√8 dt〗

L= √8 π ≈25.1327

r=2; θ=t; φ=2t∶0≤t≤π

dL= √((dr/dt)^2+(r dθ/dt)^2+(rsen(θ)dφ/dt)^2 ) dt

L= ∫_0^π▒〖√((0)^2+(r)^2+(2rsen(t) )^2 ) dt〗

L= ∫_0^π▒〖√((0)^2+(2)^2+(2rsen(t) )^2 ) dt〗

Como r = 2

dL= ∫_0^π▒√(4+16〖(sin〗⁡〖t)〗^2 ) dt

L=2∫_0^π▒√(1+4〖(sin〗⁡〖t)〗^2 ) dt

L≈10.5407

Dada la función vectorial F ⃗=xy(μ_y ) ⃗+yz(μ_z ) ⃗

Verifique el teorema de Gauss en la región de la figura.

Verifique el teorema de Stokes en la cara BCDG de la figura.

Teorema de gauss

∇ ⃗∙ F ⃗=(x+y)

d_v=d_z d_y d_x

∭_v^.▒〖(x+y) d_v 〗= ∫_0^1▒∫_0^2▒∫_0^1▒〖(x+y)d_z d_y d_x 〗

∫_0^1▒∫_0^2▒〖(x+y)∫_0^1▒〖d_z d_y d_x 〗〗

∫_0^1▒∫_0^2▒〖(x+y)d_y d_x 〗

* ∫_0^2▒〖(x+y) d_y=2x+2 〗

∫_0^1▒〖2x+x d_x =[x^2+2x] ■(1@0) =3〗

Superficie ABCO

ds ⃗= -d_x d_y (μ_z ) ⃗

F ⃗ ∙ ds ⃗= -yzd_x d_y pero z=0

F ⃗ ∙ ds ⃗=0

∬_ABCO^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗=0〗

Superficie AFEO

ds ⃗= -d_x d_z (μ_y ) ⃗

F ⃗ ∙ ds ⃗= -xyd_x d_z pero y=0

F ⃗ ∙ ds ⃗=0

∬_AFEO^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗=0〗

Superficie OCDE

ds ⃗= -d_y d_z (μ_x ) ⃗

F ⃗ ∙ ds ⃗=0

∬_OCDE^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗=0〗

Superficie ABGF

ds ⃗=d_y d_z (μ_x ) ⃗

F ⃗ ∙ ds ⃗=0

∬_ABGF^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗=0〗

Superficie FGDE

ds ⃗=d_x d_y (μ_z ) ⃗

F ⃗ ∙ ds ⃗=yzd_x d_y pero z=1

F ⃗ ∙ ds ⃗=yd_x d_y

∬_FGDE^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗= ∫_0^2▒∫_0^1▒〖yd_x 〗〗 d_y= ∫_0^2▒〖y ∫_0^1▒d_x 〗 = ∫_0^2▒〖yd_(y ) 〗= 2

Superficie BCGD

ds ⃗=d_x d_z (μ_y ) ⃗

F ⃗ ∙ ds ⃗= xyd_x d_z pero y=2

F ⃗ ∙ ds ⃗= 2xd_x d_z

∬_BCGD^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗= ∫_0^1▒∫_0^1▒〖2xd_x d_z 〗= ∫_0^1▒〖[x^2]■(1@0)d_z 〗〗=∫_0^1▒d_z = 1

∯_s^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗ =0+0+0+0+2+1 = 3〗

∭_v^.▒〖(∇ ⃗∙ F ⃗ ) d_v= ∯_s^.▒〖F ⃗ ∙ ds ⃗ = 3〗〗

(b) Teorema de Stokes

Ψ(x,y,z)=y-2=0

∇ ⃗Ψ(x,y,z)= (μ_y ) ⃗

(n ) ⃗= (μ_y ) ⃗

ds= (d_x d_z)/(|(n ) ⃗∙ (μ_(y|) ) ⃗ ) = d_x d_z

ds ⃗= d_x d_z (μ_y ) ⃗

∇ ⃗x F ⃗=|■((μ_x ) ⃗&(μ_y ) ⃗&(μ_z ) ⃗@d/d_x &d/d_y &d/d_z @0&xy&yz)| =(z(μ_x ) ⃗+y(μ_z ) ⃗)

∇ ⃗x F ⃗ ∙ds ⃗= (z(μ_x ) ⃗+y(μ_z ) ⃗ )∙d_x d_z (μ_y ) ⃗ =0

∬_s^.▒〖∇ ⃗x F ⃗ ∙ds ⃗= 0〗

Trayectoria BC

dl ⃗= d_x (μ_x ) ⃗

F ⃗ ∙ dl ⃗=0

∫_BC^.▒〖F ⃗ ∙ dl ⃗=0〗

Trayectoria CD

dl ⃗= d_z (μ_z ) ⃗

F ⃗ ∙ dl ⃗=yzd_z con y=2

F ⃗ ∙ dl ⃗=2zd_z

∫_CD^.▒〖F ⃗ ∙ dl ⃗= ∫_0^1▒〖2zd_z 〗〗=1

Trayectoria DG

dl ⃗= d_x (μ_x ) ⃗

F ⃗ ∙ dl ⃗=0

∫_DG^.▒〖F ⃗ ∙ dl ⃗=0〗

Trayectoria GB

dl ⃗= d_z (μ_z ) ⃗

F ⃗ ∙ dl ⃗=yzd_z con y=2

F ⃗ ∙ dl ⃗=2zd_z

∫_GB^.▒〖F ⃗ ∙ dl ⃗= ∫_1^0▒〖2zd_z 〗〗=-1

∮_c^.▒〖F ⃗ ∙ dl ⃗ =0+0+1-1=0〗

∬_s^.▒〖∇ ⃗x F ⃗ ∙ds ⃗=∮_c^.▒〖F ⃗ ∙ dl ⃗ 〗= 0〗

...