FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES Y ACUMULADAS

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES Y ACUMULADAS

ESTUDIO PARA UNA VARIABLE – TIPO DISCRETO

ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Sea “ X “ una variable aleatoria discreta con un conjunto de posibles valores D , el valor esperado o la media de “ X “  denotado por :

[pic 1]

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La media de una variable aleatoria “ X “  mide en cierto sentido el valor promedio de la variable “ X “. La varianza de una variable aleatoria mide el grado de dispersión o esparcimiento de la variable. Sea”X“ una variable aleatoria con la siguiente distribución:

[pic 2]

1.- EJERCICIO 01

Se lanzan 3 monedas, analice la variable aleatoria “numero de caras obtenidas” calcular la esperanza matemática, la varianza de la variable y la P ( X ≤ 2 ).

Solución

Primera Moneda      Segunda Moneda   Tercera Moneda

                                        [pic 3]

Las probabilidades en cada rama del diagrama de árbol es 1/2, por lo tanto las probabilidades de los eventos del espacio muestral son iguales ,es decir son equiprobables.                                  

Espacio muestral

S = ( CCC ) ; ( CCS) ; ( CSC ) ; ( CSS ) ; ( SCC ) ; ( SCS ) ; ( SSC ) ; ( SSS ) = 8 Eventos

Declaración de la variable

X i =  Numero de caras obtenidas

X = 0 Significa que no salió cara ; evento presente = ( S S S )

P(X=0) =P(SSS) = 1/8

X = 1 Significa que  salió una sola cara ; evento presente = ( S C S ) , ( S S C ) , ( C S  S )

P(X=1) = P( S C S ) +P ( S S C ) + P( C S  S ) = 1/8 +1/8 +1/8 = 3/8

X = 2 Significa que  salió dos  cara ; evento presente = ( C C S ) , ( C S C ) , (  S C  C  )

P(X=2) =P (C C S ) + P( C S C ) + P( S C  C  ) = 1/8 +1/8+1/8 = 3/8

X = 3 Significa que  salió tres cara ;  evento presente = ( C C C ) =

P(CCC) =1 / 8

Distribución de Probabilidades y acumuladas para la variable “ X “

E (X) = ∑ Xi*P(X = Xi) = = 12/8 = 1,5 ; E (X 2)  = ∑Xi 2  *  P ( X = Xi ) = 3

Var (X) =  E ( X 2 )  - [ E ( X ) ] 2 = 3 – (1,5) = 0,75

P (X ≤ 2 ) = P(X=0) +P(X=1) + P(X=2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8

2.- EJERCICIO 02

Se lanzan 2 dos dados bien balanceados y la variable se define como la suma de los dos resultados  calcular

Hallar:

a.- La función de probabilidades y acumuladas.

b.- La esperanza matemática y la varianza

c.- P (X ≤ 7) , P(4 ≤ X • 9) , P (X ≥ 6)

3.- EJERCICIO 03

Se toma una pieza de un juego de domino, de define la variable aleatoria “X “ la cual representa los puntos de la pieza.

Hallar: a.- La función de probabilidades y acumuladas.

b.- La esperanza matemática y la varianza

4.- EJERCICIO 04

De un lote de 100 circuitos se sabe que 25 no funcionan, sea el experimento de seleccionar aleatoriamente 3 circuitos y determinar si cada uno funciona o no, se pide:

A,. Diagrama de árbol

B.- Hallar la distribución de probabilidades y acumuladas para la variable X = número de circuitos que funcionan de 3 seleccionados al azar.

c.- La esperanza matemática y la varianza.

D.- P ( 1 • X • 3 ) ; P ( X • 1 ∪ X • 3 ) ; P ( X ≥ 2  /  1 • X ≤ 3 )

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