Una Prueba de buen ajuste.

Aplicaciones de la distribución χ2

Esta distribución es de mucha aplicación en situaciones donde las observaciones provienen de una variable de tipo discreto, o bien en aquellos casos en que la característica en estudio es de tipo cualitativo.

Prueba de buen ajuste

Pretende contestar la siguiente pregunta ¿qué tan adecuadamente describe el modelo teórico la realidad. Esta prueba, utilizando la distribución  χ2 permite comparar las frecuencias esperadas o teóricas con las frecuencias observadas o reales. Las frecuencias observadas no son provenientes en general de un censo, son solo una muestra de las frecuencias posibles. Por ello aunque el modelo o la distribución teórica describa precisamente la situación real, es de esperar que el proceso de muestreo produzca diferencias entre ambas frecuencias. De esta manera si las diferencias son muy grandes, es improbable que la población real este distribuida de acuerdo con la distribución de la probabilidad teórica que estamos utilizando como modelo

Consideremos una muestra de tamaño n, donde Xi son los posibles eventos de un conjunto X1,X2.......Xn, que ocurren con las frecuencias observadas foi. De acuerdo con la teoría de las probabilidades, cabe esperar que estos eventos aparezcan con las frecuencias esperadas fei, deseamos saber si las frecuencias esperadas y observadas difieren significativamente. Para la realización de la prueba de hipótesis, utilizamos el siguiente estadístico

          K

χ2 Φ = Σ (foi – feii)2/`fei,

          i=1

donde K es él numero de clases o valores considerados. El numero de grados de

libertad surge:

1. cuando las frecuencias esperadas pueden ser calculadas sin que se tenga información de los parámetros poblacionales: Φ = k-1
2.  cuando se tenga que calcular r parámetros poblaciones: Φ = k-1- r

Los pasos para desarrollar la prueba de hipótesis son los siguientes,

1º Enunciar H0 y H1

2º Fijar el nivel de significación α

3º Determinar el estadístico de la prueba

          K

χ2 Φ = Σ (foi – feii/)2/fei,

          i=1

4º Determinar la región critica

P(χ2 Φ ≥ a) =α

5º Conclusiones

Si χ2 c  ≥ χ2 t  se rechaza H0; χ2 c chi-cuadrado calculado y χ2 t chi cuadrado teórico

Prueba para determinar  la distribución teórica

En esta prueba se admite que por hipótesis la distribución poblacional sea descripta mediante un determinado modelo de distribución de probabilidades como la distribución binomial, normal, Poisson, etc, y verificar la buena o mala adecuación de los datos muestrales a los del modelo. Si existe una buena adecuación podemos admitir que el ajuste de los datos al modelo es bueno, y cuando ello no ocurre,a admitimos que el ajuste no es satisfactorio, y que, el modelo utilizado resulta inadecuado para representar la distribución muestral

Prueba de independencia

Asociación e independencia son dos conceptos importantes en administración y economía. Si dos eventos son independientes la ocurrencia de uno no altera la probabilidad de ocurrencia del otro. Dada una tabla de contingencia, en la que un conjunto de observaciones fue clasificada según dos atributos A y B,

.fij, frecuencia de elementos muestrales que pertenecen a la subclase i del atributo A y j del atributo B

.fi., f.j frecuencia marginal

N: numero total de observaciones.

Se desea probar si existe independencia entre los atributos de clasificación. De ser así, y considerando que fij/n es un estimador de la proporción de los elementos de la clase ij, respecto al numero total de observaciones. O sea,

∧                                           ∧ 

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