Ejercicios de probabilidad, combinatoria

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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA / Prof. Jaime Garrido

Probabilidad.

Autores.

Aldemaro Márquez Aponte

Pedro Teixeira

Charallave, abril de 2023

Resumen

Debido a la importancia y gran cantidad de usos que tiene la probabilidad estadística, en el documento presentado a continuación se propone la solución a una serie de nueve ejercicios tomados de la novena edición de libro “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y ciencias” de los autores Walpole, Myers, Myers. Ejercicios enfocados en la comprensión y desarrollo del manejo de ésta valiosa herramienta fundamental en el desarrollo de todo tipo ingeniero. Los ejercicios seleccionados son los números:

• 2.11
• 2.31
• 2.59
• 2.83
• 2.105
• 5.5
• 5.9
• 6.11
• 6.14

Palabras claves: Probabilidad, Combinaciones, Espacio muestral, Eventos.

Introducción

El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico. El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios, que constituyen la base para la estadística inferencial. La inferencia estadística se relaciona con las conclusiones relacionadas con una población sobre la base de una muestra que se toma de ella.

En el ámbito de la ingeniería. El ingeniero, en la tarea de diseñar experimentos y analizar datos de diferentes fuentes, acude a las diversas técnicas estadísticas que dispone con miras a reducir la incertidumbre y generar seguridad para la toma de decisiones. En este propósito su formación en pensamiento estadístico le ayuda a tener mayor efectividad. Por lo que es importante que se tenga conocimiento y practica en todo este tipo de temas pertinentes.

Análisis Y Resultados

Ejercicio 2.11

El currículum de dos aspirantes masculinos para el puesto de profesor de química en una facultad se coloca en el mismo archivo que el de dos aspirante mujeres. Hay dos puestos disponibles y el primero, con rango de profesor asistente, se cubre seleccionando al azar uno de los cuatro aspirantes. El segundo puesto con cargo de profesor titular, se cubre después mediante la selección aleatoria de uno de los tres aspirantes restantes. Utilice la notación , por ejemplo, para denotar el evento simple de que el primer puesto se cubra con el segundo aspirante hombre y el segundo puesto se cubra después con la primera aspirante mujer,[pic 4]

1. Liste los elementos de un espacio muestral S;
2. Liste los elementos de S que corresponden al evento A en que el puesto de profesor asistente se cubre con un aspirante hombre;
3. Liste los elementos de S que corresponden al evento B en que exactamente uno de los dos puestos se cubre con un aspirante hombre;
4. Liste los elementos de S que corresponden al evento C en que ningún puesto se cubre con un aspirante hombre;
5. Liste los elementos de S que corresponden al evento A∩B;
6. Liste los elementos de S que corresponden al evento AUC;
7. Construya un diagrama de Venn para ilustrar las intercepciones y las uniones de los eventos A, B y C.

Solución de a)

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Solución de b)

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Solución de c)

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Solución de d)

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Solución de e)

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Solución de f)

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Solución de g)

Figura 1

Diagrama de Venn con las intercepciones y las uniones de los eventos A, B y C.

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Ejercicio 2.31

Un testigo de un accidente automovilístico le dijo a la policía que la matrícula del culpable, que huyo, contenía las letras RLH seguidas por 3 dígitos, de los cuales el primero era un 5. Si el testigo no recuerda los 2 últimos dígitos, pero está seguro de que los tres eran distintos, calcule la cantidad máxima de registros de automóviles que la policía tendría que revisar.

Resolución

Como resultado de que el primer digito es un 5, existen n1= 9 posibilidades para el segundo digito y luego n2 = 8 posibilidades para el tercer digito debido a que todos los dígitos son distintos. Por lo tanto, por la regla de multiplicación hay n1.n2 = (9) (8) = 72 registros a verificar.

Ejercicio 2.59

En una mano de póquer que consta de 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener

1. 3 ases;
2. 4 cartas de corazones y 1 de tréboles.  

Resolución de a)

        En un mazo de póker hay 52 cartas, de las cuales 4 de ellas son ases. El número de formas que se pueden obtener 3 de esos 4 ases está dado por la expresión.

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Dónde: n: número de elementos y r: grupo a seleccionar. Por lo tanto:

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El número de formas que hay de sacar 2 cartas cualesquiera que no sean ases está dado por la expresión

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 Nota. 48 surge de sacar los 4 ases de un mazo de 52.

        Por la regla de la multiplicación existen: (4)(1.128) = 4.512 formas de sacar 5 cartas donde 3 de ellas sean ases y las otras 2 no de una baraja de 52 cartas.

        El número de manos de póker de 5 cartas cualesquiera, las cuales cada una de ellas tiene la misma probabilidad de salir son.

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        Finalmente, la probabilidad de que ocurra un evento donde en un mano de 5 cartas tengamos 3 ases es:

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Resolución de b)

El número de cartas de corazones que hay en una baraja son 13, al igual que en el caso de los tréboles. Por lo que el número de formas que hay para sacer 4 y 1 respectivamente de esos 13 serán:

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Por la regla de la multiplicación existen: (715)(13) = 9.295 manos con 4 corazones y 1 trébol.

Finalmente, la probabilidad de sacar 4 cartas corazones y una de tréboles en una mano de 5 cartas será:[pic 19][pic 20]

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