Interpolación de Hermite

Índice.

Interpolación de Hermite 2

Conceptos Basicos 3

Metodos de Diferencias Dividas de Newton ………...5

Ejercicios resueltos y propuestos 7

Bibliografía 10

INTERPOLACIÓN DE HERMITE

La Interpolación de Hermite se refiere a la interpolación de una función y de algunas de sus derivadas en un conjunto de puntos o nodos determinados.

En determinadas aplicaciones se precisan métodos de interpolación que trabajen

con datos prescritos de la función y sus derivadas en una serie de puntos, con el objeto

de aumentar la aproximación en las proximidades de dichos puntos. Dentro de esta clase

de métodos está la interpolación de Hermite.

Sean xo,..., x„ puntos distintos. Conocidos los valores de la función f(x) y su

derivada f(x)' en Xo,...,x„, se trata de encontrar un polinomio de grado el menor posible

que coincida con f(x) y con su derivada en los puntos señalados.

Un polinomio se puede ajustar no sólo a los valores de la función f(x), sino también a las derivadas de la misma en los puntos considerados

La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de las derivadas sucesivas de la función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se puede obtener un polinomio cada vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una determinada monotonía, concavidad, etc.

En este caso, estaremos hablando de interpolación de Hermite generalizada y su cálculo se llevará a cabo de forma similar a la apuntada, pero obteniendo polinomios de grado cada vez mayor debido a las sucesivas derivadas de los coeficientes .

Notar, pues, que la interpolación de Lagrange puede considerarse como un caso particular de la interpolación de Hermite generalizada (el caso en el que "conocemos" cero derivadas de f(x).

Conceptos Básicos

Suponemos que se necesita un polinomio de menor grado que interpola una función f(x) y a su derivada f´(x) en dos puntos distintos, sean x0 y x1 estos puntos.

El polinomio buscado tiene que satisfacer las siguientes cuatro condiciones:

P( xi ) = f ( xi ) y P´( xi ) = f´( xi )

para todos los i = 0 , 1

Al tener cuatro condiciones, el polinomio buscado tiene que ser a lo sumo de grado tres, generalizando tiene que estar en el espacio lineal de todos los polinomios de a lo mas P3

P3( x ) = a + b ( x – x0 ) + c ( x – xo )2 + d ( x -x0 )2( x - x1 )

El cual al derivarlo obtenemos la siguiente expresión

P´3( x )= b + 2c ( x – xo ) + 2d ( x -x0 )( x - x1 ) + d ( x -x0 )2

Con ello las cuatro condiciones que se obtienen sobre P3( x ) se presentan de la siguiente manera, considerando h = x1 – x0

f ( x0 ) = a

f ´( xo ) = b

f ( x1 ) = a + bh + ch2

f ´( x1 ) = b + 2ch + dh2

En general, si se van a interpolar mediante un polinomio los valores de una función f ( x ) y de algunas de sus derivadas, se deberán enfrentar algunas dificultades, debido a que los sistemas lineales de ecuaciones (a partir de los cuales se espera calcular los coeficientes del polinomio Pn( x ) ) pueden ser singulares

En un problema de Interpolación de Hermite (Hn ) se supone que siempre que se da el valor de una derivada P( j )( xi ) en un nodo o punto xi, también se dan los de P ( j-1 )( xi ) , P ( j-2 )( xi ) , P ( j-3 )( xi ) , P ( j- 4 )( xi ) , ……, P (3 )( xi ) , P´´( xi ) , P´( xi ) , P( xi )

Con ello en el nodo o punto considerado xi se dan ki condiciones de interpolación

Los ki cambian en cada punto i considerado

Sean x0 , x1 , x2 , x3 , …………, xn-2 , xn-1 , xn

...