Limites y continuidad, el estudio del cálculo

3.1 NOCIÓN DE LÍMITE

¿Qué se entiende por límite? Comúnmente se habla del límite de velocidad, del límite entre dos naciones, del límite de peso de un boxeador; todo lo anterior nos hace comprender que un límite es un tipo de cota que en algunos casos puede que se alcance o que se supere.

La idea de un límite se ilustra mediante líneas secantes que se aproximan a una línea tangente.

[pic 1]

En el estudio del cálculo, la comprensión del concepto “limite” es fundamental, por lo que es conveniente explicarlo en términos prácticos y aplicando a situaciones y problemas cotidianos.

Por ejemplo: pensemos en la relación entre la fuerza aplicada a un resorte de extensión (peso) y su cambio de longitud; es decir, cuando se flexiona el resorte sin llegar a romperse. Para obtener esa información, aumentaríamos el peso suspendido del resorte para después registrar los cambios de longitud (s) para cada peso agregado sucesivamente.

Supongamos que el resorte soporta 25 kg antes de romperse. Cuando el peso se acerca a los 25 kg, es necesario que los incrementos de peso sean cada vez más y más para no llegar al máximo de 25 kg. Registrando las longitudes sucesivas de flexión del resorte podríamos determinar el valor L conforme el peso W tienda a 25kg. Simbólicamente se expresa como:

S        L (que se leerá S tiende a L) cuando[pic 2]

W        25 (que se leerá W tiende a 25) siendo[pic 3]

W   < 25, establecemos que L es la longitud S.

Si se tomaran fotografías del resorte cuando este esté sometido a diferentes pesos podríamos observar que la longitud máxima que alcanzaría justo antes de romperse sería el valor máximo dado por L.

[pic 4]

Otro ejemplo de aplicación se puede ver en la siguiente situación geométrica, en donde f es una función real. Sean A (X1, f (x)) y B (x, f(x)) dos puntos cualesquiera sobre la gráfica de f, tal y como se representa en la siguiente figura:

[pic 5]

La recta T es la tangente a la grafica de f en el punto A. La recta S, es la recta secante que corta a la grafica de F en A y en B, la cual se aproxima a la coincidencia con T cuando B se aproxima a A a lo largo de la curva. Es decir, la recta secante tendera a parecerse a la recta tangente conforme las coordenadas del punto B tiendan a las coordenadas del punto A.

Sea msec la pendiente de la recta secante que pasa por A y por B, entonces, observando la grafica anterior, la pendiente de la secante esta dada por:

[pic 6]

Conforme las coordenadas del punto B se acerquen cada vez más a las coordenadas del punto A, entonces la recta secante tendera a la recta tangente y, por tanto, la pendiente de la secante tendera a la pendiente de la tangente. Esto se expresa como:

[pic 7]

Si existe un numero m, la recta que pasa por A con pendiente m es la recta tangente T. este particular limite, relacionado con el concepto geométrico de tangente de la gráfica de f en un punto A, se denomina derivada de f en X1.

3.2 LIMITE DE UNA DUNCIÓN:

El límite de una función en un punto es obtener el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.

Se expresa de la siguiente manera:

[pic 8]

Que significa, tal y como te acabo de decir, que cuando X tiende al punto Xo, el valor de la función se va aproximando a L, por tanto, el límite de esa función cuando X tiende a Xo es L. Gráficamente quedaría de la siguiente manera:

[pic 9]

Si te das cuenta, conforme nos vamos aproximando al valor Xo en el eje x, en el eje y, el valor de la función se va a aproximando al valor L.

x puede tender a cualquier valor, desde menos infinito hasta más infinito (ambos incluidos) y el límite de una función también puede ser desde menos infinito hasta infinito (ambos incluidos).

EJEMPLOS:

1. [pic 10]

2.[pic 11]

3. [pic 12]

[pic 13]

3.3 PROPIOEDADES DE LOS LÍMITES:

Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:

• LIMITE DE UNA SUMA: El limite se una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones

Limite   [f(x)+g(x)]= Limite   f(x)+ Limite g(x)
x      a                            x      a             x      a
Ejemplo:

Sea:       F(X)= 2x+3

G(X)= x+1

Limite [f(x)+g(x)]= Limite f(x)+ Limite g(x)
x      2                          x      2                x      2

Limite 2x+3 + Limite x+1 = Lim 7 + Lim 3 = 7+3 =  10
x      2                x      2

• LIMITE DE UN PRODUCTO: Es igual al producto de los números

Limite [f(x)*g(x)]= Limite   f(x)* Limite g(x)
x      a                          x      a             x      a
Ejemplo:

Sea:       F(X)= 2x+3

G(X)= x+1

Limite [f(x)*g(x)]= Limite f(x)* Limite g(x)
x      2                          x      2                x      2

Limite 2x+3 * Limite x+1 = Lim 7 * Lim 3 = 7*3 =  21
x      2                x      2

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