MODELOS Y SIMULACION “Resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicado a un caso de ingeniería mediante la utilización de MATLAB”

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INGENIERÍA EN PETROQUÍMICA

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MODELOS Y SIMULACION

“Resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicado a un caso de ingeniería mediante la utilización de MATLAB”

INTEGRANTES:

BAHAMONDE DIEGO

ORELLANA STIVEN

QUINTEROS ALLISTER

PROFESOR: ISABEL PASMIÑO

LATACUNGA 20 DE DICIEMBRE DEL 2017

1. Objetivos:

1. Objetivo General

Resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicado a un caso de ingeniería mediante la utilización de MATLAB.

1. Objetivos Específicos

• Demostrar que método de programación resulta ser más fácil de utilizar o manejar entre eliminación gaussiana y factorización LU.
• Comparar cuál de los métodos, eliminación gaussiana y factorización LU realiza la simulación en menor tiempo.
• Identificar que método ya sea eliminación gaussiana y factorización LU brinda valores más confiables o exactos a las variables en el sistema de ecuaciones.

1. Resumen ejecutivo

Este proyecto trata sobre la aplicación de Matlab para la resolución de ecuaciones lineales, mediante la representación de las mismas en matrices, se resolverá el sistema por dos métodos diferentes, los cuales son: Eliminación Gaussiana con pivoteo y mediante la factorización LU. De esta forma podremos conocer soluciones a incógnitas o variables desconocidas presentes en problemas relacionados a simulaciones de procesos, más específicamente a operaciones en un determinado sistema. En este caso en específico buscamos la resolución de un conjunto de ecuaciones dado por un sistema de distribución de vapor en una industria, en las cuales representamos los balances de materia y energía, estas ecuaciones son:

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Los resultados obtenidos por cada método serán comparados y examinados para determinar diferentes factores como cuál es el método más sencillo de programar, el más rápido o más exacto, de esta forma tendremos un criterio de afinidad a alguno de los métodos ya expuestos anteriormente.

Con este proyecto fundamentamos y practicamos los conocimientos obtenidos en clase de modelos y simulación, teniendo en cuenta la facilidad e importancia que brinda Matlab para este tipo de situaciones, demostrando ser una herramienta muy útil en la carrera de ingeniería.

1. Introducción

El ordenador es utilizado en  cálculos científicos y su uso cada vez se impone con más fuerza tanto en el terreno de la investigación como pedagógico didáctico. Existen varios programas para la resolución de diferentes problemas donde implican variables de procesos en la industria  uno de  estos programas es MATLAB, este software se destaca por su fácil aprendizaje, utilización, gran potencia y pocas exigencias de equipamiento informático. La potencia de este software se manifiesta por dos características fundamentales: la conjugación entre programación clásica y funcional y la gran variedad de problemas que es capaz de resolver (Sistemas de Ecuaciones, Optimización, Ecuaciones diferenciales, entre otros). Su fácil uso y rápido aprendizaje están íntimamente relacionados con su carácter funcional y con el ente primordial o elemental en Matlab (la matriz). De esta forma, los datos en Matlab son, casi exclusivamente, matrices y la resolución de un determinado problema se lleva a cabo  aplicando” a las matrices introducidas las ”funciones” que Matlab dispone (o que el usuario ha definido previamente). Se presenta entonces como una herramienta eficaz y flexible en el cálculo numérico con excelente posibilidades gráficas, que ayudan al tutor y al estudiante tanto en sus trabajos docentes y de estudio como en su labor de investigación.

1. Metodología

El procedimiento que realizo para encontrar las variables desconocidas en base al método de eliminación gaussiana con pivoteo y factorización LU en el problema de distribución de vapor son los siguientes:

1. Eliminación gaussiana con pivoteo

Antes de ingresar cualquier comando para la resolución del problema se recomienda hacerlo en new script en caso que exista algún error en la programación.

1. Construir una matriz de coeficientes con los términos independientes, correspondientes al  sistema, y se crea una matriz llamada “matriz aumentada”.

X =

    2.0000   -3.0000   -3.0000    6.0000   15.0000

    4.0000    2.0000    3.0000   -4.0000    9.7500

    5.0000    6.0000    1.0000  -12.0000    5.0000

    3.0000   -1.0000    2.0000    4.0000   13.0000

1. Se establece el número mayor, mediante el comando que busque el mismo, este será el pivote (en valor absoluto)  en toda la matriz y se procede a un cambio de filas y columnas para ubicar el mayor elegido en la posición correspondiente.
2.  Una vez ubicado el número mayor, se procede al cálculo de los multiplicadores correspondientes a la etapa.
3. Con los multiplicadores hallados en cada etapa, se procede al cálculo de las nuevas filas de la matriz aumentada.

X =

    5.0000    6.0000    1.0000  -12.0000    5.0000

         0       -5.4000   -3.4000   10.8000   13.0000

         0                 0     4.2963    2.0000   -1.0741

         0                 0              0   -1.8448   -0.0000

1. Una vez se tiene la matriz aumentada en la forma triangular superior, se procede a realizar una sustitución regresiva, para el cálculo de las variables X1, X2, X3, X4.
2. Por último se establece el tiempo de cálculo que el programa tarda en ejecutar dicho método.

1. Factorización LU

1. Construir una matriz de coeficientes con los términos independientes, correspondientes al  sistema,  y se crea una matriz llamada “matriz aumentada”.

X =

    2.0000   -3.0000   -3.0000    6.0000   15.0000

    4.0000    2.0000    3.0000   -4.0000    9.7500

    5.0000    6.0000    1.0000  -12.0000    5.0000

    3.0000   -1.0000    2.0000    4.0000   13.0000

1. Ingresamos el comando que permita que la matriz L sea triangular inferior y de diagonal unitaria de igual manera para la matriz U que es triangular superior. Al ser las matrices triangulares, podemos calcular cada elemento de la matriz “X”
2. El siguiente paso es la factorización de la matriz LU asignada anteriormente.

1. Una vez  obtenida la factorización de la matriz LU se ingresa el comando para el cálculo de sustitución hacia atrás de la matriz U.

U =

    5.0000    6.0000    1.0000  -12.0000    5.0000

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