Como se da los Espacios vectoriales

4 ESPACIOS VECTORIALES

Un tipo de estructura más compleja que las definidas en la lección anterior la constituyen los llamados espacios vectoriales. Los espacios vectoriales son los objetos que estudia el Álgebra Lineal.

Un espacio vectoriales una tripla [pic 1] conformada por:

(1) Un grupo abeliano [pic 2], los elementos del cual denominamos vectores.

(2) Un cuerpo [pic 3], los elementos del cual denominamos escalares.

(3) Una operación externa

[pic 4]

[pic 5]

Entre escalares y vectores que cumple las siguientes condiciones:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Para cualesquiera escalares [pic 10] y cualesquiera vectores [pic 11].

Es costumbre denotar el espacio vectorial [pic 12] simplemente por [pic 13]; también se dice que [pic 14] es un [pic 15]-espacio vectorial.

4.1 Definición: Espacio Vectorial.

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

ÁLGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 1

• Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si α v α= 0 (escalar, v vector) entonces o bien es α=0 o bien es v =Ō.

4.2 DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL 

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i)                  Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii)               Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y  están en H y α es un escalar.

ROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en   

      H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

     u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H. 

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23

[pic 16]

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

[pic 17]

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir[pic 18]donde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

[pic 19]


INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores [pic 20], se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores[pic 21]

...