Progresion Aritmética

Progresión Aritmética

Progresión, es una serie de “cosas” que son ordenadas de forma ascendente o descendente, y que tienen cierta característica o características en común. Puede haber progresiones de libros, de revistas, de monedas, la evolución de una población en instantes de tiempo equis espaciados o una señal digital de lo que sea.

Definición de progresión aritmética:

Es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior más una cantidad constante que llamamos diferencia de la progresión, la representamos por d y la obtenemos restando del valor de un término cualquiera del anterior:

ejemplo:

2. 4. 6. 8. 10. 12.………..

Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que estamos en presencia de una serie es decir, en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos.

Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término más 2.

El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término más 2:

4 + 2 = 6

El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término más 2:

6 + 2 = 8

El valor de d obtenemos restando el valor del tercer término menos el valor del 2º término:

6 - 4 = 2

o bien, el del 5º menos el valor del 4º:

10 - 8 = 2, etc...

SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA:

Si delante de una sucesión de números ves el símbolo ÷ refiere a una progresión aritmética.

Ejemplo: ÷3.8.13.18.......

Si pones este símbolo te ahorras escribir las palabras: progresión aritmética.

TÉRMINOS Y DIFERENCIA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA:

A cada número de la sucesión le llamamos término y lo representamos por:

a_1=primer término

a_2=segundo término

⋮

a_n=último término

En el caso de que la progresión tenga 6 términos como: 2. 4. 6. 8. 10. 12

el valor de n es 6.

En la progresión aritmética: 3. 7. 11. 15. 19. 23. 27 el valor de n es 7.

El valor de la diferencia es: 4. Te basta restar el valor de un término cualquiera del valor del término anterior:

a_4-a_3=15-11⟹ a_4-a_3=4

Para pasar de un término al siguiente basta sumarle al anterior una cantidad constante que llamamos diferencia de la progresión (también se la denomina razón de la progresión) y la representamos por d.

En la progresión aritmética: 3. 7. 11. 15. 19. 23. 27

El a_1=3; a_2=7; a_3=11;… a_n=27

Para pasar del tercer término al cuarto le sumo a éste la diferencia (d), que en el ejemplo es 4:

a_4=a_3+4⟹15=11+4

Calculo del término n-esímo (termino general):

a_n=a_1+(n-1)d⇒{█(a_n=término general@a_1=valor del primer término@n=número de términos@d=diferencia)┤ ■(a_1@■(a_2=a_1+d@a_3=a_2+d=a_1+2d)@a_n=a_1+(n-1)d)

Si d>0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente.

Si d<0 los números cada vez son menores, se dice que la progresión es decreciente

Ejemplos:

Identificar los tres primeros términos y la diferencia en las siguientes progresiones aritméticas:

3,7.11.15,19

Solución:

a_1=3 ; d={█(7-3=4@11-7=4@15-11=4)┤⟹d=4

a_2=a_1+d⟹a_2=3+4⟹a_2=7

a_3=a_1+2d⟹a_3=3+2(4)⟹a_3=11

10,7,4,1,-2

Solución:

a_1=10 ; d={█(7-10=-3@4-7=-3@1-4=-3)┤⟹ d=-3

a_2=a_1+d⟹a_2=10+(-3)⟹a_2=7

a_3=a_1+2d⟹a_3=10+2(-3)⟹a_3=4

2,4,6,8,10

Solución:

a_1=2 ; d={█(4-2=2@6-4=2@8-6=2)┤⟹ d=2

a_2=a_1+d⟹a_2=2+2⟹a_2=4

a_3=a_1+2d⟹a_3=2+2(2)⟹a_3=6

Determinar el término a_20

3,7,11,15,19

Solución.

a_1=3 ; d={█(7-3=4@11-7=4@15-11=4)┤⟹d=4 ; n=20

a_n=a_1+(n-1)d⟹a_20=3+(20-1)4⟹a_20=79

Determinación de la ecuación del término general de la progresión:

Se sustituye en la fórmula del término general

a_n=a_1 +(n-1)d

Los valores de a_1 y d ; y se ordena la ecuación

Con la fórmula del término general podemos obtener el valor de cualquier término de la progresión, sustituyendo n

Ejemplos:

Determinar el término a_20

3,7.11.15,19

Solución:

a_1=3 ; d={█(7-3=4@11-7=4@15-11=4)┤⟹d=4

a_n=a_1+(n-1)d⟹a_n=3+(n-1)(4)⟹a_n=3+4n-4

⏟(▭(a_n=4n-1))┬(ecuación general)

a_20=4(20)-1⟹a_20=〖80-1⟹a〗_20=79 ∎

10,7,4,1,-2

Solución:

a_1=10 ; d={█(7-10=-3@4-7=-3@1-4=-3)┤⟹ d=-3

a_n=a_1+(n-1)d⟹a_n=10+(n-1)(-3)⟹a_n=10-3n+3

⏟(▭(a_n=13-3n))┬(ecuación general)

a_20=13-3(20)⟹a_20=13-60⟹a_20=-47 ∎

2,4,6,8,10

Solución:

a_1=2 ; d={█(4-2=2@6-4=2@8-6=2)┤⟹ d=2

a_n=a_1+(n-1)d⟹a_n=2+(n-1)(2)⟹a_n=2+2n-2

⏟(▭(a_n=2n))┬(ecuación general)

a_20=2(2)⟹a_20=4 ∎

En una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y la diferencia es 4, calcular el decimotercer término.

Datos: Solución:

a_1=5

d=4

a_n=a_13=? a_n=a_1+(n-1)d

a_13=5+(13-1)(4)⟹a_13=5+12(4)⟹a_13=5+48

a_13=53 ∎

En una progresión aritmética la diferencia es 6, el noveno término es 72: calcular el primer término.

Solución:

Datos: Solución:

d=6

a_n=a_9=72

a_1=? a_n=a_1+(n-1)d

a_9=a_1+(9-1)(6)⟹72=a_1+8(6)⟹72=a_1+48

a_1=72-48⟹a_1=24 ∎

En una progresión aritmética cuyo primer término es 11 y la diferencia es 5, un término vale 61 ¿qué lugar de la sucesión ocupa este término?

Solucion.

Datos: Solución:

a_1=11

d=5

a_n=61

n=? a_n=a_1+(n-1)d

a_n=11+(n-1)(5)⟹61=11+5n-5

61-11+5=5n⟹5n=55⟹n=55/5

n=11 ∎

En una progresión aritmética cuyo primer término es 15, el noveno término es 55: ¿cuál es la diferencia?

Datos: Solución:

a_1=15

a_n=a_9=55

d=? a_n=a_1+(n-1)d

a_9=15+(9-1)d⟹55=15+8 d

55-15=8d⟹8d=40⟹d=40/8

n=5 ∎

Interpolación de términos:

Consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman términos medios aritméticos.

Ejemplo.

Intercalar entre 2 y 14 tres números

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