Algebra De Eventos

La probabilidad es una rama de las matemáticas, la cual mediante mediciones de eventos y espacios muéstrales usando diferentes técnicas, trata de pronosticar si cierto evento en específico ocurrirá. Al realizar un experimento estadístico obtendríamos varias posibilidades de resultado de acuerdo a las características del mismo, a todo el conjunto de estas posibilidades se le conoce como espacio múestral (s) y a cada posible resultado se le conoce como punto muestral .

Existen algunas técnicas para representar el espacio muestral de un experimento, uno de las más usados es el diagrama de árbol , el cual de manera grafica representa todos los puntos muéstrales , organizándolo en columnas donde en la primera tenemos el primer resultados, en la segunda el segundo resultado y así sucesivamente hasta cubrir todas las posibilidades y poniendo en la última columna el espacio muestral.

Para cualquier experimento estadístico que se lleva a cabo, estamos interesados en que ocurra uno o varios puntos muestrales en específico que se le conoce como un evento. Técnicamente un evento es un subconjunto de un espacio muestral. Pueden existir subconjuntos que contengan todos los datos del espacio muestral o de igual forma que no contengan uno solo.

Cada conjunto de eventos o subconjunto muestral tiene su complemente, que para fines prácticos no es más que lo que no está contenido en el , o bien , el conjunto que puntos muestrales que lo complementan , si tenemos cierto conjunto llamado “A” denotaremos su complemento como “A´ ”.Al evento que jamás pasara se le conoce como evento imposible y se denota como evento ∅.

Existen varias operaciones de conjuntos que se pueden llevar a cabo, la primera de todas es la Intersección que se denota matemáticamente como "∩" . Esta operación supone que si tenemos un conjunto llamado A y otro llamado B y le aplicamos la operación intersección, en el resultado observaríamos los elementos que coinciden en ambos conjuntos, es decir, tanto los conjuntos de A como los de B.

Ejemplo:

A={1,2,3,4}

B={1,2,4,5}

A∩B = {1,2,4}

Cuando en una operación de intersección entre dos conjuntos obtenemos un vacio, quiere decir que los dos conjuntos son mutuamente excluyentes o que no comparten ningún elemento.

Otra operación de conjuntos es la unión (∪), que se refiere al evento que contiene todos los elementos que pertenecen tanto a un grupo como al otro.

Ejemplo:

A={1,2,3,4}

B={7,8,6,5}

A∪B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Las relaciones entre los eventos y subconjuntos se puede representar gráficamente con un diagrama de Venn, en el cual representamos el espacio muestral con un rectángulo y los eventos específicos con círculos dentro del mismo rectángulo.

Ejemplo :

A∪B = {1,2,3,4,5,6}

A∩B={2,5}

A∩B∩C={5}

Leyes de Morgan

1. El contrarío de la unión de dos sucesos es igual a la intersección de los contrarios.

(A ∪ B)´= A´∩ B´

2. El contrarío de la intersección de dos sucesos es igual a la unión de los contrarios.

(A ∩ B)´= A´U B´

Propiedades de las operaciones:

• Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A

• Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

• El contrario del contrario de un suceso es el mismo suceso: (A´)´ = A

• Idempotencia: A ∪ A = A ∩ A = A

• Absorcion: A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A

CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA

Una de las formas más común en el conteo de puntos es la regla de la multiplicación, que nos dice que si una operación se puede llevar a cabo de n1 formas y si para cada una de esas formas obtenidas se puede llevar acabo de n2 formas diferentes, el total de formas posibles seria n1n2.

El ejemplo más fácil para este caso sería el del lanzamiento de dos dados, primero se lanza uno por lo que tenemos 6 posibles puntos (n1) y lanzamos el segundo, el cual tendría el mismo número de posibles resultados (n2), por lo que el total de posibilidades serian 36.

El segundo teorema de la regla de la multiplicación es muy similar al primero , solo que ahora se tienen más de dos posibles conjuntos de resultados , por ejemplo si se tiene n1 posibles resultados y esos tiene n2 posibles resultados y esos a su vez nk posibilidades , el total seria n1n2nk.

Otro sencillo ejemplo sería el de el lanzamiento de dos dados y una moneda, ya que tendríamos 6 posibilidades en el primer dado (n1) otras seis en el segundo (n2) y dos posibles resultados en la moneda (n3), por lo que en total tendríamos seria 72.

Otra de las formas más comunes en el conteo de puntos es el uso de las PERMUTACIONES el cual es un arreglo de una parte o todo el conjunto de datos.

El primer teorema de las permutaciones es el: Es el numero de permutaciones de n objetos, n!.Donde n! se refiere a la multiplicación del orden descendente desde n hasta 1.

Ejemplo: De cuantas formas se pueden acomodar las letras A,B,C y D

4! = 4*3*2*1 =24 formas .

El segundo

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