Algebra de Eventos

Algebra de Eventos (Teoría de Conjuntos)

Espacio Muestral (S): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento dado. Generalmente se denota con la letra S. Por ejemplo, los resultados posibles del experimento de arrojar un dado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Muestra: Es un resultado particular, o sea, un elemento del Espacio Muestral (S). Por ejemplo, arrojar un dado y obtener 4.

Evento o Suceso: Un evento A es un conjunto de resultados, o sea, un subconjunto de Espacio Muestral (S). Por ejemplo, un evento puede ser arrojar dos veces un dado obteniéndose por ejemplo un 4 y un 3.

Algebra de Eventos

Evento complementario:

En un espacio muestral (S) donde hay un evento A, habrá un conjunto de puntos que no pertenecen a A, este es el evento complementario, se denota como Ac .

Se define como: Ac = 1 - A (Ac contrario al evento A)

Gráficamente se representa así:

Unión o Suma Lógica:

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los puntos que están en A, en B y en ambos. Se denota como: A U B.

Se define como: A U B = A + B

Gráficamente se representa así:

Intersección:

La intersección de los eventos A y B es el conjunto formado por todos los puntos que pertenecen a A y a B simultáneamente.

Se denota como: A ∩ B.

Se define como: A ∩ B = A . B

Gráficamente se representa así:

Inclusión:

Cuando todos los elementos de un conjunto B están contenidos en un conjunto A, la ocurrencia de B implica la ocurrencia de A. Esto se conoce como Inclusión y se denota como: B Ì A

El conjunto que se escribe a la izquierda del signo Ì se dice que "está incluido (o contenido) en" el conjunto que se escribe a su derecha.

Gráficamente se representa así:

Igualdad:

Cuando todos los elementos de un conjunto B están contenidos en un conjunto A y todos los elementos del conjunto A están contenidos en B, entonces la ocurrencia de B implica la ocurrencia de A (B Ì A ) y viceversa (A Ì B ) .

Esto se conoce como Igualdad y se denota como: A = B.

Gráficamente se dificultad la representación, porque los eventos se superponen.

Evento Nuevo:

El evento (C) que no tiene descripciones en el espacio muestral (S) y por lo tanto no puede ocurrir es el conjunto Nuevo, que también se le llama Nulo o Vacío. El mismo se denota como Ø, también se puede representar como { }.

Ø = Conjunto Nulo o vacío

Gráficamente se podría representar así:

Eventos Mutuamente Excluyentes o Disjuntos:

En un espacio muestral (S) donde hay un evento A y un evento B que no pueden suceder simultáneamente, o sea que no tienen puntos en común. Se le denominan eventos mutuamente excluyentes o disjuntos. Se denota como A Ç B = Ø

Se define como: A Ç B = A . B = Ø

Gráficamente se representa así:

Fenómenos Aleatorios

Fenómeno empírico caracterizado por la propiedad de que su observación, bajo un conjunto de condiciones dadas no siempre conduce al mismo resultado, sino que pueden ocurrir diferentes resultados.

Es imposible predecir con certeza absoluta el resultado del mismo antes de realizarlo bajo un conjunto de condiciones dadas (el resultado depende del azar), sin embargo puede lograrse una estimación con un grado de confiabilidad

Ejemplos de Fenómenos Aleatorios

1. Estatura adulta del hijo de una pareja.

Aunque tengamos toda la información antropométrica, de salud y socio-económica de ambos miembros de la pareja, resulta imposible conocer con exactitud cual será la talla final de un hijo.

2. Niveles de lípidos en el suero de un sujeto sano del sexo masculino.

No hay ningún mecanismo o procedimiento que nos permita conocer esas cifras, como no sea la extracción de una muestra de sangre y la valoración directa del nivel de dichas sustancias en el suero obtenido.

Ni todos los hijos (de igual sexo) de una pareja tienen la misma talla, ni todos los hombres sanos tienen lipidogramas iguales. Estas diferencias son el producto de factores que no podemos controlar o que no conocemos que influyen sobre esas características (talla adulta y nivel de lípidos), y que los resultados sean diferentes a pesar de realizar las observaciones en igualdad de condiciones.

Variable Aleatoria

Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento o fenómeno aleatorio. Puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta, por ejemplo, el sexo de un recién nacido. En el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua, por ejemplo, la talla, y en general variables que expresan tiempo, medidas de longitud, peso, etc

Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posible resultado de un experimento aleatorio.

Fenómenos Determinísticos

Los fenómenos determinísticos son aquellos que ocurren inevitablemente cuando están presentes un conjunto de condiciones. No ocurren cuando están presentes determinadas condiciones.

Ejemplos:

• Ebullición del agua ocurre a más de 100 0C

• Congelación del agua ocurre 0 0C

Para los fenómenos determinísticos es posible encontrar leyes que expliquen la aparición de los resultados dado un conjunto de condiciones iniciales a la realización del experimento.

El espacio recorrido es producto de la velocidad por el tiempo, e = v • t.

Fenómeno Aleatorio

Fenómeno Aleatorio: Fenómeno empírico caracterizado por la propiedad de que su observación, bajo un conjunto de condiciones dadas no siempre conduce al mismos resultado, (no existe regularidad determinística), sino que pueden ocurrir diferentes resultados, de manera tal que existe Regularidad Estadística.

Regularidad Estadística: La estabilización para un número grande de pruebas del por ciento de ocurrencia de cada uno de los resultados del experimento.

Para realizar el estudio de un fenómeno aleatorio, es necesario realizar un experimento; del cual obtendremos diferentes resultados. Cada uno de estos resultados se denomina Punto Muestral.

Espacio Muestral: De un fenómeno aleatorio es el conjunto de todos los puntos muestrales del experimento. Es decir todos los resultados posibles de un fenómeno aleatorio.

Espacio muestral = S

Fenómeno Aleatorio = FA

Ejemplos:

• Lanzamiento de una moneda

– Resultados: Cara o Cruz S = 2

• Lanzamiento de un dado

– Resultados: 6 caras S = 6

• Seis bolas: 4 rojas (R) y 2 blancas (B)

– Según el color S = {R, B} o sea S = 2

– Según el número S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o sea S = 6

Estos son S finitos, también los hay infinitos. Un ejemplo:

– Los números reales.

Eventos o Sucesos: Es una colección de puntos muestrales del espacio muestral, o sea un conjunto de descripciones del experimento.

Por ejemplo:

Lanzamiento de 3 monedas, los resultados serían en la combinación de caras y cruces.

S1= XXX S5= OXX

S2= XXO S6= OXO

S3= XOX S7= OOX

S4= XOO S8= OOO

Como vemos hay 8 puntos muestrales y varios eventos.

Observemos algunos ejemplos de eventos:

• Evento A: Que la primera tirada sea cruz

A = {S1, S2, S3, S4}

• Evento B: Que al menos 2 de las 3 tiradas sean cruces:

B = {S1, S2, S3, S5}

Regularidad Estadística

Un ejemplo de experimento aleatorio puede ser el lanzamiento de una moneda. Si disponemos de una moneda (sin ningún tipo de sesgo, bien balanceada) tenemos un espacio muestral definido por dos resultados posibles: Cara o Cruz. El espacio muestral (S) matemáticamente se denota así S = {“Cara”(C), “Cruz”(+)}. Si lanzamos la moneda n veces y se obtienen nc caras, la frecuencia relativa (f) del suceso C es: fc = nc / n. (Número de ocurrencia del suceso (número de caras) entre el número total de pruebas realizadas (lanzamientos))

Regularidad Estadística

Si esta experiencia la realizan varias personas, las frecuencias relativas obtenidas no coinciden, pero oscilan alrededor de un número fijo. En el siglo XVIII Buffon repitió el experimento del lanzamiento de una moneda 4.040 veces y obtuvo una frecuencia de sucesos de cara fc = 0,5069. En el siglo XX Pearson realizó el mismo experimento 24.000 veces, obteniendo un frecuencia de fc = 0,5005. Las probabilidades se ajustan a fc = 0,5, el límite cuando se realiza infinitas repeticiones del lanzamiento.

Observamos que si se realiza un gran número de repeticiones, las frecuencias relativas de aparición de los sucesos presentan regularidad estadística (Ley de Regularidad

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