Propiedades de los números reales en matemáticas

CARRERA: INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

MATERIA: CALC. DIFERENCIAL

MAESTRO: CARLOS VIRGILIO MARMOLEJO VEGA

ALUMNO: KARLA PAOLA AGUILAR TANDI

GRUPO: A SALON: M1

ENSAYO DE LAS UNIDADES:

1.1 La recta numérica.

1.2 Los números reales.

1.3 Propiedades de los números reales.

1.3.1 Tricotomía.

1.3.2 Transitividad.

1.3.3 Densidad.

1.3.4 Axioma del supremo.

CHILAPANCINGO GRO. A 8 DE SEPTIEMBRE DE 2013

INTRODUCCIÒN

En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

TEMA 1.1 LA RECTA NUMÈRICA

Como sabemos todos los números pueden ordenarse del mayor al menor o viceversa pero para esto debemos saber cómo hacerlo o como distinguirlos, y para eso existe algo que se llama la recta numérica. Que nos permite determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

La recta numérica tiene como base principal el cero, ya que de ahì es de donde parte todo, y de donde podemos ubicarnos para localizar cierto número en dicha recta. Se dice que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0. Y decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.

Por ejemplo:

En la recta del ejemplo, observamos que en cada extremo està solamente hasta el numero nueva, sin embargo sabemos que los números son infinitos y por ende los números de la recta pueden ser hasta el número que deseemos. Así mismo podemos observar que está dividida en dos partes simétricas, el lado izquierdo color rojo, conformado por números negativos. Y el lado derecho color morado de los números positivos.

La recta numérica es una herramienta muy eficaz, que nos sirve para entender un poco más los conceptos de los números enteros con signo y números reales, asi también como suma y resta

Y como lo había mencionado anteriormente a partir del origen en la recta numérica o sea el cero, los números siguen aumentando en valor hacia la derecha, mientras que se mantienen disminuyendo en magnitud en la dirección opuesta, que es representado por el símbolo negativo.

Todos los números en la recta numérica poseen una distancia absoluta desde el origen de la recta, lo que significa que no tienen un mismo o único valor (valor absoluto). Siendo de gran importancia el orden en el que se colocan los números de la recta debido a que juega un papel sumamente importante al momento de determinar su magnitud con respecto a otros números de la misma.

Pero, ¿Qué es el valor absoluto? El valor absoluto viene a ser una distancia y la distancia nunca puede ser negativa, por tanto el valor absoluto de cada número, sea positivo o negativo, siempre es positivo.

Por poner un ejemplo, el valor absoluto de −6 sería | −6 | = 6.

Por lo general los números enteros están marcados claramente en la recta, y están igualmente espaciados uno del otro, sin embargo esto no siempre es así y por lo general, varía por requerimiento. Las dos mitades simétricas, que son los números positivos y números negativos respectivamente, hacen el concepto de números positivos y números negativos bastante claro. También explica que cada número positivo tiene su opuesto negativo en la otra mitad.

Generalmente la recta numérica se dibuja horizontalmente, incluyendo todos los tipos de números reales, tales como números enteros, números naturales, números racionales, números irracionales, etc.

Pero también puede ser usado para representar un conjunto complejo / números imaginarios.

La recta numérica también cumple la condición de cadena contable, la cual establece que “Cada conjunto de intervalos abiertos no vacíos y mutuamente divisibles entre sí en la recta numérica es contable”.

1.2 LOS NUMEROS REALES

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

. En palabras más simples, todos esos números que perduran son reales.

Cada tipo de número encaja en el conjunto de los números reales. Este conjunto incluye, básicamente, los números naturales, números enteros, números racionales e irracionales. Todo número real puede tener lugar en la recta numérica. Esta caracterización es uno de los desarrollos más significantes en la aritmética del siglo XIX. El principal uso de los números reales se encuentra en la medición de las cantidades continuas. Estas tienen dos propiedades importantes por el nombre de límite mínimo superior y campo ordenado. De acuerdo con la primera, un conjunto de Número Reales no vacío tendrá un límite mínimo superior, si el conjunto contiene un límite superior. El último dice que los números reales contienen un campo ordenado que puede ser completamente organizado bajo la recta numérica en sintonía con la multiplicación y la adición. Los números reales tienen su aplicación en los diversos campos de la física y de la computación.

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