Secuencia didáctica para las transformaciones gráficas de la función exponencial

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA LAS TRANSFORMACIONES GRÁFICAS DE LA

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Javiera Calderón Guzmán / Fernanda Bravo Cid

javiera.calderon.g@usach.cl – fernanda.bravo@usach.cl

1. Resumen:

En la enseñanza de las funciones exponenciales se puede percibir un trabajo escaso en el uso de

la gráfica, provocando que las y los estudiantes no sean capaces de reconocer y utilizar las

gráficas de las distintas funciones, solo conocen la parte algebraica, provocando una falta de

experticia en las nociones matemáticas. Por esta razón en el presente documento se realiza un

análisis en particular sobre la función exponencial a la luz de lo didáctico, lo curricular y lo

matemático, basados en los textos de Cordero (1997) y (2005), dirigido a estudiantes de 3°

medio de enseñanza media. Para esto, se diseñó una secuencia didáctica, cuyo propósito es que

las y los estudiantes comprendan cómo se puede transformar la función exponencial con la ayuda

de la función 𝑦(𝑥) = 𝐴・𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐵, con 𝑓 una función exponencial, a través de la

iteración de los parámetros A, 𝑎, b, B, con la ayuda de la calculadora gráfica GeoGebra.

2. Introducción

Es conocido que dentro de los ejes de las matemáticas el álgebra y funciones son ejes

fundamentales dentro de la enseñanza de las matemáticas. Generalmente en las aulas de clases al

momento de enseñar a los y las estudiantes la unidad de funciones se prioriza el tratamiento

algebraico de la función, junto también con la graficación de los puntos en el plano cartesiano.

En consecuencia, la mayoría del estudiantado no logra comprender las transformaciones que

pueden surgir en la gráfica, pues, hay una desarticulación dentro del registro algebraico y el

gŕafico del concepto de función. Por este motivo en el presente documento se presentará una

secuencia didáctica en base a la función exponencial con el fin de denotar las transformaciones

que pueda tener la gráfica de esta función.

Para esto se consideraron las ideas presentadas en los textos de Cordero y Solís (1997), donde

cada evento que se pueda realizar a las gráficas transfieren acciones entre cada uno de los

elementos de la función, realizando transformaciones de los parámetros, los cuales se aplican a

cualquier función de la forma A [f(𝑎𝑥 + 𝑏)] + B.

Siendo 𝑓(𝑥) = 𝑎 y la iteración de los parámetros A, , b, B, donde: 𝑥

; 𝑎 > 0 Λ 𝑎≠0 𝑎

𝑦(𝑥) = 𝐴・𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐵 , siendo 𝑓 una función exponencial de base 𝑎 .

3. ANÁLISIS PRELIMINAR

3.1. Lo Didáctico:

A lo largo de la enseñanza podemos ver que la gráfica se enseña y se utiliza como una

herramienta para construir algebraicamente un concepto matemático, no como un objeto propio

Entonces según Cordero (1997) para generar una comprensión integral de la función exponencial

se propone variar los parámetros para así realizar una comparación con la función original a

modo de reconocer la correlación de los parámetros y la gráfica, de esta manera se podrá

identificar las transformaciones y traslaciones de la gráfica con el fin de relacionarlo e integrarlo

al conocimiento matemático.

De esta manera se considera a la función 𝑓(𝑥) = 𝑎 y a la función 𝑥

; 𝑎 > 0 Λ 𝑎≠0

g(x) = 𝐴・𝐹 , cuyos a iterar son A, a, b y B. (𝑎𝑥+𝑏) + 𝐵

3.2. Lo Matemático

En 1741, el matemático y físico suizo Leonhard Euler marcó un hito en la historia de las

matemáticas, al descubrir la función a tratar en esta secuencia, la cual es la función exponencial.

Euler en 1748 publicó su descubrimiento de la noción matemática como la función inversa de la

función logarítmica.

La definición de la función exponencial según Stewart (2012) tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 , donde 𝑥

𝑎 es un número real positivo distinto de 1, que presenta las siguientes características:

•El dominio de esta función es el conjunto de los números reales (ℝ)

•La gráfica de la función siempre interseca al eje Y en el punto (0,1), porque 𝑎

0 = 1

•Si 𝑎 > 1 la función resultante es creciente, ya que si 𝑎 = 1 la función sería 𝑓(𝑥) = 1 , donde 𝑥

al momento de graficar es una función constante.

•Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.

•El eje x es la asíntota de la función exponencial.

3.3. Lo curricular

La función exponencial es un objeto matemático que se ve a la luz del currículum nacional en el

OA3 habilidades del curso 3°medio, de la siguiente manera: “Aplicar modelos matemáticos que

describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento, que involucran las funciones

exponencial y logarítmica, de forma manuscrita, con uso de herramientas tecnológicas y

promoviendo la búsqueda, selección, contrastación y verificación de información en ambientes

digitales y redes sociales.” y para lograr cumplir con este objetivo la función se presenta o se

reconoce a partir de un ejercicio de crecimiento de bacteria a través del tiempo, con la ayuda de

la tabulación de datos y posteriormente con la gráfica de los datos, se puede reconocer el modelo

de función exponencial, según el plan y programa la función puede ser una herramienta para

predecir acerca de situaciones con la ayuda de este modelo matemático.

4. ANÁLISIS A PRIORI

A continuación se realizó el análisis a priori de la secuencia didáctica para la función

exponencial presente en el anexo 1, Principalmente las actividades se desarrollan con un

programa específico para esta actividad en GeoGebra, donde la primera actividad presente en el

anexo 1 tiene como objetivo que el estudiante tenga un acercamiento a la estructura gráfica de la

función exponencial, ya sea con ayuda de alguna página web o con la ayuda de sus compañeros,

para que también pueda ser útil al comparar las gráficas resultantes luego de variar los

parámetros.

4.1 M1: Traslación

El principal objetivo de la actividad 1, es que los estudiantes puedan identificar la generalidad de

cómo la función exponencial se traslada de manera horizontal y vertical.

Específicamente en el apartado 2.a de la actividad anexo 1 , se espera que por medio de la

observación del cambio en la

...