Funciones Logarítmicas

Funciones

Producto cartesiano

El producto cartesiano es una relación de dos conjuntos, de tal manera que se incluyan todos los pares que se puedan formar, de tal manera que el primer elemento pertenezca al primer conjunto, y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

A x B={(x,y)}/ x ∈A y ∈B

A x B={(1,5),(1,6),(1,7),(2,5),(2,6),(2,7),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}

Para conjuntos finitos, el número de elementos del producto cartesiano es igual:

n(A x B)=[n(A)][n(B)]

Ejemplo:

n(A)=4 n(A x B)=(4)(3)=12

n(B)=3

El producto cartesiano se puede extender a tres o más conjuntos, en el caso de tres conjuntos.

A x B x C={(x,y,z) /x∈A,y∈B,z∈C}

(A x B x C) = [n(A)] [n(B)] [n(C)]

Calcular de cuantas formas puede venir vestida una señorita y cuales con estas; si tiene de calzado: tenis, botas, sandalias y zapatillas.

C = {t,b,s,z} C x R x A n (C x R x A) = (4) (3) (4)

R = {m,p,sh} n (C) = 4 n (C x R x A) = 48 formas diferentes

A = {b,p,t,s} n (R) = 3 n (A) = 4

Relación

Una relación es un subconjunto del producto cartesiano, ya que son pares que se puedan formar, de tal manera que el primer elemento pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto, a diferencia del producto cartesiano, no es necesario que estén todos los pares, basta que este alguno o algunos.

Ejemplo:

R: A→ B R: A→ B = {(x,y) / x ∈A,y ∈B}

R: A→B = {(1,2),(2,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,6),(5,8),(5,10)}

Dominio

Es donde se encuentran los elementos del primer conjunto o conjunto de salida de una función, una relación o del producto cartesiano.

DOMINIO: {1,2,3,4,5}

Contra dominio

Está formado por todos los elemento del conjunto de llegada de una relación, función o producto de llegada de una relación, función o producto cartesiano.

CONTRA DOMINIO = {0,1,2,4,6,8,10,12}

Imagen

Es lo que le corresponde a cada elemento del dominio, en el caso de las relaciones y del producto cartesiano incluso puede ser plural.

La imagen de 1 es: 4

Las imágenes de 2 son: 2 y 6

La imagen de 3 es: 6

La imagen de 4 es: 8

Las imágenes de 5 son: 6,8,10

Rango

Es el conjunto formado por todas las imágenes correspondientes por elementos del dominio, el rango es un subconjunto del contra dominio.

RANGO = {2,4,6,8,10}

Función

Es una relación de tal manera que a todos los elementos del dominio les corresponda una sola imagen, ejemplo:

F: C→D F: C→D = {(1,2),(2,6),(3,4),(4,4),(5,8)}

DOMINIO = {1,2,3,4,5}

CONTRA DOMINIO = {2,4,6,8,10,12}

RANGO = {4,6,8}

Tipos de funciones

Función inyectiva

También llamada una a una; una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde una imagen diferente, ejemplo:

F: E→G

F: E→G = {(1,9),(2,3),(3,12),(4,15)}

E G

DOMINIO = {1,2,3,4}

CONTRA DOMINIO = {3,6,9,12,15,18}

RANGO = {3,9,12,15}

Función suprayectiva o sobre

Una función es suprayectiva, si se cumple que todos los elementos del contra dominio queden correspondidos por elementos del dominio, es decir, en estas funciones el rango es igual al contra dominio, ejemplo:

F: H→I

F: H→I = {(1,4),(2,6),(3,2),(4,6),(5,10),(6,6),(7,8)}

H I

DOMINIO = {1,2,3,4,5,6,7}

CONTRA DOMINIO = {2,4,6,8,10}

RANGO = {2,4,6,8,10}

Función biyectiva

Una función es biyectiva, si se cumple que sea inyectiva y suprayectiva, es decir, a cada elemento del dominio le debe corresponder una imagen diferente y los elementos del contra dominio quedan correspondidos por al menos un elemento del dominio, ejemplo:

F: J→K = {(1,4),(2,7),(3,1),(4,10),(5,13)}

J K

DOMINIO = {1,2,3,4,5}

CONTRA DOMINIO = {1,4,7,10,13}

RANGO = {1,4,7,10,13}

En los siguientes ejercicios se determinan cuales son funciones y cuales relaciones; en cada caso se establece su dominio y su rango al igual que si son funciones se establecen su tipo (inyectivas, suprayectivas y biyectivas).

DOMINIO: R = (-∞,∞)

RANGO = [0,∞]

...