Funciones logarítmicas

Funciones logarítmicas

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

logb y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log100 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.

Propiedades de los logaritmos:

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base:

Ejemplos:

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical. La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente estudiadas.

En primer lugar, son funciones positivas, pues en la definición de la función se considera únicamente la raíz positiva del radicando.(Si la expresión algebraica de la función fuera entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos)

En segundo lugar, si observas las gráficas representadas podrás ver que, en muchas ocasiones, sólo están definidas en un tramo de la recta real; en estos casos su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada sólo está definida para valores positivos del radicando. Y su comportamiento respecto a la monotonía (crecimiento y decrecimiento) es bastante sencillo. En esta práctica vamos a estudiar las propiedades fundamentales de los dos tipos de funciones radicales: .

En la primera escena puedes ver la gráfica de la función para los valores en los que estén situados los deslizadores.

En primer lugar analizarás las propiedades de las funciones del tipo para lo que situarás el deslizador a en el valor 0. Moviendo los otros deslizadores estudiarás:

– El dominio de definición de la función.

– El crecimiento o decrecimiento de la misma.

– La existencia de extremos relativos (máximos y mínimos).

Después estudiarás estas propiedades para las funciones del tipo situando el deslizador a en valores no nulos.

La función constante es del tipo: y = n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0.La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K

Funciones a trozos

“Una función definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos , disjuntos, de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas distintas”.

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada

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