Momento3 Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

ACTIVIDADCOLABORATIVA FASE III

POR:

UNIVERSIDA NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

MEDELLIN

2015

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:

dy/dx=e^(-x^2 ), y(0)=1

Por el método de series de Taylor tenemos:

y"(x)=2x" e^(-x) ", y\"" (0)=0

y^''' "(x)=(4" x^2 "-2)" e^(-x) ", y'''" (0)=-2-2!/1!

y^iv "(x)=(-8" x^3 "-12x)" e^(-x) ", " y^iv (0)=0

y^v "(x)=(16" x^4 "-48" x^2 "+12)" e^(-x) ", " y^v (0)=12=-(12*2)/2=4!/2!

y^vi "(x)=(-120+720" x^3 "-480" x^4 "+64" x^6 ")" e^(-x) ", " y^vi (0)=0

y^vi "(x)=(-120+720" x^2 "-480" x^4 "+64" x^6 ")" e^(-x) ", " y^vi (0)=120=-(12*6)/6=6!/3!

Se observa la siguiente ley de formación:

y^((2n))=0,

y^((2n-1))=(-1)^(n-1) (2(n-1))1/((n-1)) n=1,2,3…

En consecuencia, se tiene los coeficientes

a_2n=y^((2n))/(2n)!=0,

a_2n=y^((2n-1))/(2n-1)!=(-1)^(n-1) (2(n-1))!/(2n-1)!(n-1)! n=1,2,3…

O bien,

a_2n=0,

a_2n=(-1)^(n-1) (2(n-1))!/(2n-1)!(n-1)!=(-1)^(n-1) (2n-2)!/(2n-1)!(2n-2)!(n-1)!

=(-1)^(n-1) 1/(2n-1)!(n-1)!

Nuevamente se obtiene la solución encontrada por series de potencias:

y(x)=1+∑_(n-0)^∞▒((-1)^n x^(2n+1))/(2n+1)n!

2. Revisar la convergencia de las siguientes series

∑_(n=1)^∞▒〖1/(2^n+1) ∑_(n=1)^∞▒1/n! 〗

∑▒1/((2^n+1))

Serie expansión de Taylor.

1/2-1/4 n log⁡〖(2)+0(〗 n^2)

Serie Expansión de Laurent

-1/log⁡〖(2)(n-iπ/log⁡(2) 〗 + 1/2-1/12 log⁡〖(2)(n-iπ/log⁡(2) )+o((n-iπ/(log⁡(2))┤ )^2 )〗

Límites de la serie en el infinito (convergencia)

lim┬(n→∞)⁡〖1/(1+2^n )=1〗

lim┬(n→∞)⁡〖1/(1+2^n )=0〗

La serie converge en los valores mostrados arriba

∑▒1/n!

Serie expansión de Taylor

1+yn+1/12 (6y^2-n^2 ) n^2+

1/12 n^3 (2y^3-yπ^2-2ψ^2 (1)+(n^4 (60y^4-60y^2 π^2+π^4-240yψ^((2)) (1))/1440+

(n^5 (12y^5-20y^3 π^2+y π^4-120y^2 ψ^((2) ) (1)+20π^2 ψ^((2) ) (1)-12ψ^((4) ) (1))+)/1440

0(n^6)

Límite de la serie:

lim┬(n→∞)⁡〖(1/n!)=0〗

Converge cuando n tiene a infinito, pero diverge cuando n tiende a infinito negativo.

3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0.

y^'+2yx=0

y(x)=∑_(n=0)^∞▒〖a_n x^n 〗

∑_(n=1)^∞▒〖〖na〗_n x^(n-1)+2x∑_(n=0)^∞▒〖a_n x^n=0〗〗

∑_(n=1)^∞▒〖〖na〗_n x^(n-1) 〗+∑_(n=0)^∞▒〖〖2a〗_n x^(n+1) 〗=0

a_1+(〖2a〗_2+〖2a〗_0 )x+(〖3a〗_3+〖2a〗_1 ) x^2+(〖4a〗_4+〖2a〗_2 ) x^3+⋯=0

4. Resolver por series la ecuación diferencial.

y^''-(x+1) y^'+x^2 y=x cony(0)=1,y^' (0)=1

y(0)=1; y^' (0)=1; y^'' (0)=(0)+(0+1) y^' (0)-0^2 y(0)=1

y^''' (x)=y^' (x)+(x+1) y^'' (x)-2x y(x)-x^2 y^' (x)+1

y^''' (0)=y^' (0)+(0+1) y^'' (0)-2(0) y(0)-0^2 y^' (0)+1

y^''' (0)=1+1+1=3

yh(x)=1+x+x^2/2+x^3/2+⋯

y^''+x/(1-x^2 ) y^'-1/(1-x^2 ) y=exp⁡(2x) ; y(0)=1;

...