¿cuales son los números reales y cuáles son sus propiedades?

MATEMATICAS I ( CALCULO DIFERENCIAL )

UNIDAD I.  NUMEROS REALES.

Competencia especifica. Aplica las propiedades de los números reales, desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita, así como desigualdades con valor absoluto para representar las soluciones en forma gráfica y analítica.

1.1 Clasificación de los números reales.

El cálculo se basa en el sistema de los números reales y en sus propiedades. Pero, ¿cuales son los números reales y cuáles son sus propiedades?

Los números más simples son los números naturales,  1, 2, 3, 4, 5, 6, ... con ellos podemos contar: nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si agregamos sus inversos aditivos y el cero, obtenemos los números enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Cuando tratamos de medir longitudes, pesos, voltajes, los números enteros son inadecuados, están demasiado espaciados para dar la suficiente precisión. Llegamos a considerar el cociente entre dos números enteros, tales como .

Nótese que incluimos 16/2 y -17/1, aunque por lo general se escribirían como 8  y -17, ya que son iguales a estos últimos debido al significado ordinario de la división. No incluimos 5/0 o -9/0, ya que resulta imposible dar un significado a estos símbolos. Los números que se pueden escribir en la forma de m/n, donde m y n son enteros y , se llaman números racionales.

¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? No. Este sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos griegos.  Demostraron que a pesar de que  mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes unitarias, no puede escribirse como cociente de dos enteros, figura 3. Por lo tanto,  es un número irracional.  También lo son .

                                                      [pic 1]

Los números reales. Considérese al conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Esos números se llaman números reales.

1.2 Interpretación geométrica de los números reales.

Los números reales pueden ser vistos como rótulos de puntos que están a lo largo de una recta horizontal. Miden la distancia a la derecha o la izquierda desde un punto fijo llamado origen y marcado con "0". Aunque no tengamos la posibilidad de mostrar todos los rótulos, a cada punto le corresponde un único número real. Ese número se llama coordenada del punto. La línea coordenada que se obtiene se llama recta real, figura 4.

                        [pic 2]

La mayoría de los estudiantes recordarán que se puede extender el sistema numérico aún más con los números complejos. Estos son de la forma , donde  son números reales. En raras ocasiones usaremos números complejos en este curso.

1.3 Propiedades.

Las cuatro operaciones aritméticas. Dados dos números reales "x" y "y" podemos sumarlos o multiplicarlos para obtener dos nuevos números reales . La adición y la multiplicación tienen las siguientes propiedades familiares. Las llamadas propiedades de campo.

PROPIEDADES DE CAMPO.

1.- Leyes conmutativas.   .

2.- Leyes asociativas.   .

3.- Ley distributiva.   .

4.- Elementos neutros. Hay dos números distintos, 0 y 1, que satisfacen las identidades   .

5.- Inversos. Cada número tiene un inverso aditivo (también llamado negativo), , que satisface la expresión  . Además, cada número "x" excepto 0, tiene un inverso multiplicativo (también llamado recíproco),, que satisface la expresión  .

Orden. Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos conjuntos ajenos "los números reales positivos y los números reales negativos". Esto nos permiten introducir la relación orden  "<" (se lee: "es menor que") mediante   .

Decir que x < y significa que x está a la izquierda de y en la recta real.

PROPIEDADES DE ORDEN.

1.- Tricotomía. Si "x"  y  "y" son números, se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades:

2.- Transitividad.  

La relación de orden  (se lee "es menor o igual que") es prima hermana de <. Se define como  .

3.- Densidad. Es la propiedad de los números reales que habla de la existencia de un número entre otros dos números, por muy cercanos que éstos se encuentren, existe un conjunto infinito de números reales entre ellos.

Ejemplo: Imaginemos que tenemos la recta numérica y que en ella hemos representado dos números enteros, digamos el 3 y el 5. Si preguntamos qué número está entre el 3 y el 5 la mayoría contestará instantáneamente: 4, pero también se encuentran: 3.1, 3.2, 3.5, 4.5, 4.7, π, [pic 3], entre otros.

4.- Axioma del supremo. Acota un conjunto de datos a en el cual el elemento ínfimo o cota inferior es i, y si existe cualquier otro elemento inferior a i entonces será igual a i.

Ejemplo:

[pic 4], el ínfimo de este conjunto de elementos es -2.

1.4 Desigualdades.

Resolver ecuaciones por ejemplo,  es una de las tareas tradicionales de las matemáticas; será importante en este curso y suponemos que usted recuerda cómo se hace. Pero es casi de la misma importancia en cálculo saber resolver una desigualdad por ejemplo, . Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera.

Intervalos. Varias clases de intervalos aparecerán en el curso, por lo que presentamos la terminología y notación para ellos. La doble desigualdad   describe un intervalo abierto que consiste en todos los números comprendidos entre a y b, sin incluir los extremos a y b. Lo designaremos mediante el símbolo (a, b). Por el contrario, la desigualdad   describe el correspondiente intervalo cerrado, que sí incluye los extremos a y b. Se denota como .

        [pic 5]   [pic 6]        

TABLA DE INTERVALOS

                     [pic 7]

Solución de desigualdades. Como con el caso de las ecuaciones, el procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformar la desigualdad un paso cada vez hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas principales son las propiedades de orden. Ellas implican que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solución. En particular:

1.- Se puede añadir el mismo número a ambos miembros de una desigualdad.

2.- Se puede multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número positivo.

3.- Se puede multiplicar ambos miembros por un número negativo, pero entonces se debe invertir el sentido del signo de desigualdad.

EJEMPLOS.

1.- Resuelva la desigualdad  y dibuje la gráfica del conjunto solución.

Solución:

                        [pic 8]

2.- Resuelva la desigualdad    y dibuje la gráfica del conjunto solución.

Solución:

                        [pic 9]

3.- Resuelva la desigualdad cuadrática  y dibuje la gráfica del conjunto solución.

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