La diferencial trabajo de cálculo

Definiciones. Si ’() es la derivada de () para un valor particular de , y Es un incremento de , arbitrariamente elegido, la diferencial de (), que se representa por el símbolo , se define por la igualdad [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

1.                    [pic 11]

    Si , entonces   y (A) se reduce a .[pic 12][pic 13][pic 14]

Así, cuando es la variable independiente, la diferencial de  es idéntica a . Por tanto, si , (A) puede, en general, escribirse de la forma[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

                             [pic 19]

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.

La interpretación geométrica es la construcción de una curva . Sea  el valor de la derivada en . Tomemos . Entonces
                           
                                                 [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Luego , o sea, , es el incremento  de la ordenada de la tangente correspondiente a .[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Esto da la siguiente interpretación de la derivada como fracción:

 Si se representa por  un incremento arbitrariamente elegido de la variable independiente  para un punto  en la curva , entonces en la derivada  [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

                                , [pic 34]

 representa el incremento correspondiente de la ordenada de la tangente en . Pero en la diferencial  y el incremento  no son, en general, iguales.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

La diferencial como aproximación del incremento. Cuando solamente se desea un valor aproximado del incremento de una función, es más fácil, la mayor parte de las veces, calcular el valor de la diferencial correspondiente y emplear este valor.

Ejemplo 1. Hallar un valor aproximado del volumen de una cascara esférica de 200mm de diámetro exterior y 1 mm de espesor

Solución. El volumen de  de una esfera de diámetro x es [pic 39]

1.          [pic 40]

 Evidentemente, el volumen exacto de la cascara es la diferencia  entre los volúmenes de dos esferas macizas de diámetros 20mm, respectivamente. Pero como se pide solamente un valor aproximado de , hallaremos .[pic 41][pic 42][pic 43]

, puesto que .[pic 44][pic 45]

Sustituyendo , , obtendremos , aproximadamente , no teniendo en cuenta el signo cuyo significado es, tan sólo el de exponer que  disminuye al aumentar . El valor exacto es .[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

La aproximación es aceptable porque  es relativamente pequeño, es decir, es pequeño en comparación con ; si no, el método sería inaceptable.[pic 52][pic 53]

Errores pequeños. Una segunda aplicación de las diferenciales es determinar la influencia que tienen pequeños errores en los datos en el cálculo de magnitudes.

Ejemplo 1. Se mide el diámetro de un círculo y se halla que es 5.2cm con un error máximo de 0.05 cm. Hallar un valor aproximado del máximo error que puede cometerse al calcular el área del círculo por la fórmula:

                                                                                      ([pic 54][pic 55]

Solución. Evidentemente el error máximo exacto con el que se obtiene A será la alteración  de su valor, hallado según , cuando  cambia de 5.2 cm a 5.25. un valor aproximado de error en el área es el valor correspondiente de . Por tanto,[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]

[pic 60]

Errores relativos y error expresado en tanto por ciento. Si  es el error de , la razón[pic 61][pic 62]

1.            [pic 63]
2.          [pic 64]

El error relativo puede hallarse directamente por derivación logarítmica.

Los errores de cálculo que se consideran son ocasionados por errores pequeños en los datos que suministran la base para el cálculo. Estos pueden provenir de inexactitud de medición o de otras causas.

Fórmulas para hallar las diferenciales de funciones. Puesto que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, se sigue inmediatamente que las fórmulas para hallar las diferenciales son las mismas que las dadas en las integrales para obtener las derivadas, con solo multiplicar cada una de ellas por .[pic 65]

Para hallar diferenciales, lo más fácil es hallar la derivada y multiplicar el resultado por . La operación de hallar diferenciales se llama diferenciación. [pic 66]

Ejemplo 1. Hallar la diferencial de .[pic 67]

Solución.  [pic 68]

[pic 69]

Diferencial del arco en coordenadas cartesianas rectangulares. Sea  la longitud del arco  medida desde un punto fijo  de la curva. Representemos el incremento de  por . La siguiente demostración depende del supuesto que al tener  a , [pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

[pic 77]

1. [pic 78]

Multipliquemos y dividamos por  y dividamos ambos miembros por [pic 79][pic 80]

Obtenemos: (2) [pic 81]

Si ahora hacemos que  tienda a confundirse con  como posición límite, tendremos que  y la igualdad anterior se transforma en:[pic 82][pic 83][pic 84]

1. [pic 85]

 Multiplicando ambos miembros por , obtendremos el resultado [pic 86][pic 87]

También, extrayendo en (3) la raíz cuadrada y multiplicando ambos miembros por dx,

(D)             [pic 88]

De (C) es igualmente fácil demostrar que

(E)                [pic 89]

...