RECTA Y PLANO Una recta queda definida en el espacio siempre y cuando se conozcan los siguientes aspectos:

PLANO Y RECTA

7.1 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta. Distancia de un punto a una recta.

Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta.

Una recta queda definida en el espacio siempre y cuando se conozcan los siguientes aspectos:

• Un punto de ella y la dirección de la recta, definiéndose esta con un vector.
• Dos puntos de la recta.
• Dos planos no paralelos que la contengan.

Una ecuación vectorial de la recta L es la descripción matemática de cómo se mueve un vector de posición para que con su desplazamiento, su punto extremo “barra” todos los puntos de L. Para determinar una ecuación vectorial de una recta se necesitan como datos las coordenadas de un punto de ella, o el vector de posición de dicho punto, y un vector que indique la dirección de la recta, que se conoce como “vector director”.

Sea el punto P0 (x0, y0, z0), con vector de posición =(x0, y0, z0), un punto de la recta L, y sea el vector =(a, b, c) un vector director de L: [pic 1][pic 2]

[pic 3]

Cualquier punto R que pertenezca a L puede obtenerse como la suma del vector 0 más un vector con la dirección de  y con la magnitud necesaria para alcanzar al punto R:[pic 4][pic 5]

[pic 6]

Es decir: 0 + ;  [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

El escalar  es un parámetro que permite aumentar o disminuir el módulo del vector y hasta invertir su sentido, con lo que se recorre toda la recta. Entonces, la ecuación vectorial de L queda: [pic 14]

                                = (x0, y0, z0)  + (a, b, c);  [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

o bien:

                                = (x0+a,  y0+b, z0+c); [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Una vez que se conoce la ecuación vectorial de la recta L es muy sencillo determinar su correspondiente expresión paramétrica, por igualdad de vectores de la ecuación vectorial:

                                = (x0+a,  y0+b, z0+c); [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

O bien:

                                (x, y, z)= (x0+a,  y0+b, z0+c); [pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Las ecuaciones paramétricas son:

[pic 40]

Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto a una recta a la distancia mínima entre los dos, es decir, la que se mide perpendicularmente a la recta. Para calcular la distancia entre un punto Q y una recta L, se debe tener en cuenta la siguiente figura:

En la figura se puede observar que se forma un triángulo QMP en el que los vértices son el punto Q, del que se desea calcular su distancia a la recta L; el punto M que es el punto de la recta L que se encuentra a la mínima distancia del punto Q y el punto P, que es un punto cualquiera de la recta L. Por la definición de distancia de un punto a una recta, sea cual sea el punto O que se elija de L, se formará un triángulo rectángulo con el cateto QM. En dicho triángulo, el ángulo es el formado por el vector  y el vector  que indica la dirección de L. La distancia d es igual a la longitud del cateto QM:[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

De la figura se tiene que:

                                d= sen[pic 45][pic 46]

Si se multiplica y divide entre el módulo de , que no puede ser nulo ya que se trata de un vector director: [pic 47]

d=[pic 48]

pero

 sen=[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

finalmente la expresión queda:

d=[pic 53]

7.2 Condición de perpendicularidad y condición del paralelismo entre rectas. Ángulo entre dos rectas. Distancia entre dos rectas. Intersección entre dos rectas.

Condición de perpendicularidad y condición del paralelismo entre rectas

Sean las rectas L y M con vectores directores  y , respectivamente; entonces: [pic 54][pic 55]

1. L y M son perpendiculares si y sólo si ;[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]
2. L y M son paralelas si  ; ; ; o si ;[pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]
3. algunos autores dicen que L y M son coincidentes si L y M cumplen con las condiciones de paralelismo y un punto cualquiera de L pertenece también a M; aunque realmente se trata de la misma recta representada con dos diferentes expresiones.

Estas propiedades son una demostración del ángulo entre rectas y de las propiedades de vectores.

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores, es decir:

 [pic 69]

Donde  es un vector director de una de las rectas y  es un vector director de la otra.[pic 70][pic 71]

Con esta definición es claro que dos rectas siempre forman ángulo aunque no tengan puntos en común, ya que dos vectores siempre forman ángulo. También se tiene que dos rectas en realidad forman dos ángulos, los cuales son suplementarios.

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